Mathematics Winter School 

07/02/2018, 09:30 — 10:30 — Abreu Faro Amphitheatre
Teresa Diogo, Instituto Superior Técnico, Universidade de Lisboa

Equações integrais e aplicações à mecânica (I)

Uma equação integral é uma equação em que a função incógnita, em geral uma função de uma ou mais variáveis, aparece sob o sinal de integral como parte da função integranda.

Pretendemos apresentar as equações integrais de Volterra (introduzidas numa forma genérica pelo matemático italiano Vito Volterra e estudadas nos seus trabalhos pioneiros em 1896) e falaremos de algumas das suas múltiplas aplicações. Estas equações são modelos adequados para problemas em que a solução num dado momento depende da história (passado) até esse momento. Um exemplo é o problema da dinâmica de populações e de epidemias, em que a população num certo tempo $t$ depende de fatores do passado, como seja do número de nascimentos e de sobreviventes até $t$.

Neste curso, consideraremos uma certa equação integral (hoje conhecida por equação integral de Abel) obtida em 1823 pelo matemático norueguês Niels Henrik Abel, ao resolver um problema particular da mecânica. Desde então, várias generalizações da referida equação têm sido investigadas até aos tempos atuais, com aplicações importantes em problemas que incluem condução do calor e difusão, dinâmica de reatores nucleares, viscoelasticidade.

06/02/2018, 15:30 — 16:30 — Abreu Faro Amphitheatre
Paulo Mateus, Instituto Superior Técnico, Universidade de Lisboa

Criptografia na era quântica (I)

Nesta apresentação mostra-se como a computação quântica, nomeadamente o algoritmo de Shor, põe em causa a criptografia moderna, desde as assinaturas digitais do cartão do cidadão às transações de moedas Bitcoin. Duas soluções para este problema são discutidas: a criptografia pós-quântica e a criptografia quântica.

06/02/2018, 14:00 — 15:00 — Abreu Faro Amphitheatre
Ana Moura, Instituto Superior Técnico, Universidade de Lisboa

Decomposição em valores singulares: visualizações e tratamento de dados (I)

Começamos por mostrar como a decomposição SVD (decomposição em valores singulares) permite uma descrição completa dos quatro subespaços matriciais: linhas, espaço nulo, espaço das colunas e espaço nulo da matriz transposta, para depois estudar algumas das suas aplicações mais recentes: tratamento de imagens digitalizadas, compressões digitalizadas de títulos numa biblioteca, tratamento de dados estatísticos ou ainda soluções de mínimos quadrados.

Sugestão: para rever conteúdos sobre valores e vetores próprios e diagonalização de matrizes simétricas que estão na base dos valores e vetores singulares (pré-requisitos da SVD), e ainda encontrar alguns desafios deste mini-curso sugiro a inscrição no curso online valores próprios.

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Decomposição em valores singulares

06/02/2018, 11:00 — 12:00 — Abreu Faro Amphitheatre
Manuel Scotto, Instituto Superior Técnico, Universidade de Lisboa

Agrupamento de séries temporais e sua aplicação na análise de processos geofísicos e ambientais (I)

A análise de séries geofísicas e ambientais, em particular de séries temporais de variáveis climáticas, tem suscitado um interesse crescente pela sua relevância científica e socioeconómica, e pelo seu papel na identificação, compreensão e mitigação de alterações climáticas. A disponibilidade cada vez mais generalizada de dados meteorológicos de estações e satélites, torna cada vez mais evidente a necessidade de ferramentas para resumir a informação contida nesse enorme volume de dados. Neste contexto, as técnicas para agrupamento de séries temporais assumem um papel de relevo. Neste minicurso far-se-á uma digressão pela teoria do agrupamento de séries temporais, ilustrando com exemplos relacionados com séries temporais geofísicas e ambientais algumas das ideias subjacentes.

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Series1

06/02/2018, 09:30 — 10:30 — Abreu Faro Amphitheatre
José Natário, Instituto Superior Técnico, Universidade de Lisboa

Relatividade e Geometria (I)

Neste mini-curso apresentaremos a formulação geométrica da Teoria da Relatividade e algumas das suas aplicações, desde os radares de velocidade à expansão do Universo.

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Notas sobre Relatividade Geral

08/02/2017, 15:45 — 16:45 — Abreu Faro Amphitheatre
João Pimentel Nunes, Instituto Superior Técnico, Universidade de Lisboa

O teorema da bola cabeluda

08/02/2017, 14:30 — 15:30 — Abreu Faro Amphitheatre
Ana Leonor Silvestre, Instituto Superior Técnico, Universidade de Lisboa

Um problema de Controlo Ótimo em Matemática Industrial

08/02/2017, 11:30 — 12:30 — Abreu Faro Amphitheatre
M. Rosário Oliveira, Instituto Superior Técnico, Universidade de Lisboa

Álgebra Intervalar e Big Data: uma ligação com futuro

08/02/2017, 10:00 — 11:00 — Abreu Faro Amphitheatre
Lina Oliveira, Instituto Superior Técnico, Universidade de Lisboa

Quando as matrizes mudam de nome

07/02/2017, 11:30 — 12:30 — Abreu Faro Amphitheatre
Carlos Caleiro, Instituto Superior Técnico, Universidade de Lisboa

O demónio de Radó

07/02/2017, 10:00 — 11:00 — Abreu Faro Amphitheatre
Ana Leonor Silvestre, Instituto Superior Técnico, Universidade de Lisboa

Um problema de Controlo Ótimo em Matemática Industrial

A redução das emissões de gases e substâncias nocivas produzidas pelos motores dos automóveis tem sido, desde há vários anos, uma preocupação crescente. Um catalisador (ou conversor catalítico) é um dispositivo utilizado para reduzir a toxicidade dos gases emitidos pelos motores de combustão interna.

A modelação matemática das reações físicas e químicas inerentes ao funcionamento de um catalisador resulta num complexo sistema acoplado de equações diferenciais parciais. Formula-se então um problema de controlo ótimo com o objetivo de minimizar a saída de gases perigosos. Depois de uma breve introdução à teoria do controlo ótimo, estuda-se o problema de minimização num caso simplificado.

06/02/2017, 15:45 — 16:45 — Abreu Faro Amphitheatre
Carlos Caleiro, Instituto Superior Técnico, Universidade de Lisboa

O demónio de Radó

Os resultados fundamentais da teoria da computação estabelecem uma divisão clara entre aquilo a que podemos e não podemos almejar.

No entanto, algumas ideias originais propostas por Tibor Radó em 1962 parecem deixar em aberto a possibilidade de pelo menos arranharmos a superfície dessa barreira intransponível e, quem sabe, contemplarmos algumas das pérolas que se escondem atrás dela.

Neste pequeno curso de 2 horas, usando como paradigma o modelo de computação proposto por Alan Turing e o famoso problema da terminação, falaremos de números absurdamente grandes, e de outros que não são computáveis, estudaremos funções demoníacas definidas por castores atarefados, e veremos como isso nos leva rapidamente a problemas em aberto em teoria de números como as conjecturas de Goldbach ou de Legendre, ou a hipótese de Riemann, ou mesmo até às profundezas da matemática moderna onde se questiona a coerência de teorias de conjuntos como ZFC.

06/02/2017, 14:30 — 15:30 — Abreu Faro Amphitheatre
Lina Oliveira, Instituto Superior Técnico, Universidade de Lisboa

Quando as matrizes mudam de nome

Este curso é uma breve excursão ao mundo dos operadores lineares contínuos num espaço de Hilbert $H$. Quando $H$ tem dimensão $n$, estes operadores são muitas vezes designados por transformações lineares e podem ser caracterizados usando matrizes quadradas de ordem $n$. Já se o espaço $H$ tiver dimensão infinita deixa de ser possível recorrer a estas matrizes para investigar as propriedades de um dado operador. Não é pois de estranhar que as técnicas para estudar o operador tenham que mudar. No entanto, surprendentemente (ou não), alguma da perceção ainda provém das matrizes quadradas.

Faremos uma análise de algumas das principais características dos operadores lineares contínuos em $H$, estabelecendo um paralelo entre a dimensão finita e a dimensão infinita. Será disso exemplo o teorema espetral para operadores auto-adjuntos compactos.

06/02/2017, 11:30 — 12:30 — Abreu Faro Amphitheatre
M. Rosário Oliveira, Instituto Superior Técnico, Universidade de Lisboa

Álgebra Intervalar e Big Data: uma ligação com futuro

O baixo custo de armazenamento da informação combinado como o galopante desenvolvimento tecnológico tornaram a nossa era submersa em dados. Um dos grandes desafios que nos é colocado é extrair desta abundância informação relevante e útil, que se traduza em vantagens competitivas para os seus detentores. Mas esta explosão de dados não se reflete apenas em volume, mas também em complexidade. Os dados intervalares são um exemplo destas novas e complexas estruturas, que exigem ferramentas e abordagens inovadoras na sua análise. Neste minicurso vamos descobrir como definir estatísticas sumárias e componentes principais de dados intervalares e qual a sua relação com a Álgebra Intervalar.

06/02/2017, 10:00 — 11:00 — Abreu Faro Amphitheatre
João Pimentel Nunes, Instituto Superior Técnico, Universidade de Lisboa

O teorema da bola cabeluda

O teorema da bola cabeluda é um resultado da Topologia, a disciplina matemática que estuda a forma dos espaços. Em termos comuns, ele afirma que não é possível pentear-se uma superfície esférica coberta de cabelo sem se formar algum tipo de remoínho: um campo vectorial contínuo na superfície esférica tem pelo menos um zero. Nestas duas sessões, exploraremos este e outros resultados relativos aos possíveis penteados matemáticos de uma superfície.

04/02/2016, 15:45 — 16:45 — Abreu Faro Amphitheatre
José Natário, Instituto Superior Técnico, Universidade de Lisboa

Relatividade e Geometria

Neste mini-curso apresentaremos a formulação geométrica da Teoria da Relatividade e algumas das suas aplicações, desde os radares de velocidade à expansão do Universo.

04/02/2016, 14:30 — 15:30 — Abreu Faro Amphitheatre
José Félix Costa, Instituto Superior Técnico, Universidade de Lisboa

Física e Computação

Com generalidade, a Física não é simulável. É uma grande surpresa ver como o problema da paragem dos algoritmos está relacionado com a simulação de uma teoria física... De um lado, temos a teoria física. De outro, temos a teoria da máquina de Turing, modelo de algoritmo. Que relação há entre estes dois mundos? Aparentemente nenhuma... A relação encontra-se nas virtualidades que os fenómenos naturais têm, quando interpretados no limite da teoria física, de manifestar o designado efeito de Zenão, processo que permite encapsular uma infinidade de eventos discretos num intervalo de tempo finito. É este o tema deste minicurso.

04/02/2016, 11:30 — 12:30 — Abreu Faro Amphitheatre
Ana Ferreira, Universidade de Lisboa

Extremos em Probabilidades e Estatística

A Teoria de Valores Extremos permite caracterizar acontecimentos extremos associados a valores elevados (ou baixos) de quantidades como precipitação, nível do mar, concentração de determinado poluente, medida de fadiga de determinado material, velocidade do vento, etc, estabelecendo leis limite para máximos (ou mínimos) amostrais convenientemente normalizados. Em particular, modelos existentes permitem extrapolar para além da informação amostral. Por exemplo, na estimação da probabilidade de que certo poluente atinja determinados níveis críticos nunca antes observados ou, na estimação do valor para o nível do mar correspondente a uma excedência média em cada 100 ou 10 000 anos, designado valor de retorno a 100 ou 10 000 anos.

Alguns dos modelos e métodos de estimação mais usuais serão abordados e enquadrados em diversas aplicações. Por exemplo, na construção de diques ou barragens com restrições impostas para níveis de retorno, e na análise de valores elevados de precipitação.

04/02/2016, 10:00 — 11:00 — Abreu Faro Amphitheatre
Carlos Alves, Instituto Superior Técnico, Universidade de Lisboa

Matrizes, imagens, operadores integrais e problemas inversos

A discretização de operadores integrais foi entendida por Fredholm como um processo de generalizar conceitos matriciais, nomeadamente a noção de determinante. Nesse contexto, o núcleo de um operador integral pode ser visto como uma imagem, na relação directa que se estabelece entre imagens e matrizes. Uma maior regularidade desse núcleo integral, pode ser associada a uma imagem mais suave, mas traz problemas de estabilidade na inversão do operador integral, e de forma similar na inversão das matrizes associadas. Analisaremos brevemente algumas técnicas de regularização para o problema inverso, associadas à resolução problemas de recuperação de informação por medições sujeitas a ruído aleatório, com aplicações em problemas de engenharia e imagiologia médica.

03/02/2016, 11:30 — 12:30 — Abreu Faro Amphitheatre
Henrique M. Oliveira, Instituto Superior Técnico, Universidade de Lisboa

Sincronização, um fenómeno universal

Em inúmeros fenómenos de oscilação na Natureza surge a sincronização. O bater do coração, o emparelhamento das células cerebrais perante um estímulo que provoca a epilepsia, um feixe de luz laser, o caminhar sobre uma estrutura móvel, como no caso da Ponte do Milénio em Londres, a sincronização dos investimentos na bolsa, o acoplamento de osciladores na electrónica, o piscar sincopado dos pirilampos, os movimentos síncrono de cardumes e bandos de aves, todos estes fenómenos são sincronizações entre sistemas dinâmicos. A par do caos a sincronização é um dos fenómenos mais recorrentes na Natureza. Huygens, inventor do relógio de pêndulo, foi há 350 anos um dos primeiros matemáticos a observar esta sincronização entre dois pêndulos de dois dos seus relógios quando se encontravam na mesma parede. Mais tarde Adler observou o mesmo facto entre dois circuitos RLC. O caso dos pêndulos tinha vindo a ser estudado usando o modelo de base móvel, como acontece com os metrónomos que se podem ver em muitos filmes na internet, o que é outro exemplo de sincronização rápida na Natureza. Mas no caso dos relógios a sincronização é lenta, feita por pequenas perturbações que levam a uma sincronização muito estável e cujas equações são universais e semelhantes aos modelos de Adler. No fundo a diferença de fase obedece a uma iteração que tem um ponto fixo estável, naquilo que Adler já tinha observado em meados de 1946. Nesta história existem também mestres e escravos em oposição a parceiros com os mesmos direitos! Esta pequena série de palestras é uma viagem panorâmica por estes fenómenos, em que os estudantes têm apenas de conhecer a equação do oscilador harmónico e saber iterar uma função!