Mathematics Winter School 

03/02/2016, 10:00 — 11:00 — Abreu Faro Amphitheatre
José Natário, Instituto Superior Técnico, Universidade de Lisboa

Relatividade e Geometria

Neste mini-curso apresentaremos a formulação geométrica da Teoria da Relatividade e algumas das suas aplicações, desde os radares de velocidade à expansão do Universo.

02/02/2016, 15:45 — 16:15 — Abreu Faro Amphitheatre
Ana Ferreira, Universidade de Lisboa

Extremos em Probabilidades e Estatística

A Teoria de Valores Extremos permite caracterizar acontecimentos extremos associados a valores elevados (ou baixos) de quantidades como precipitação, nível do mar, concentração de determinado poluente, medida de fadiga de determinado material, velocidade do vento, etc, estabelecendo leis limite para máximos (ou mínimos) amostrais convenientemente normalizados. Em particular, modelos existentes permitem extrapolar para além da informação amostral. Por exemplo, na estimação da probabilidade de que certo poluente atinja determinados níveis críticos nunca antes observados ou, na estimação do valor para o nível do mar correspondente a uma excedência média em cada 100 ou 10 000 anos, designado valor de retorno a 100 ou 10 000 anos.

Alguns dos modelos e métodos de estimação mais usuais serão abordados e enquadrados em diversas aplicações. Por exemplo, na construção de diques ou barragens com restrições impostas para níveis de retorno, e na análise de valores elevados de precipitação.

02/02/2016, 14:30 — 15:30 — Abreu Faro Amphitheatre
Carlos Alves, Instituto Superior Técnico, Universidade de Lisboa

Matrizes, imagens, operadores integrais e problemas inversos

A discretização de operadores integrais foi entendida por Fredholm como um processo de generalizar conceitos matriciais, nomeadamente a noção de determinante. Nesse contexto, o núcleo de um operador integral pode ser visto como uma imagem, na relação directa que se estabelece entre imagens e matrizes. Uma maior regularidade desse núcleo integral, pode ser associada a uma imagem mais suave, mas traz problemas de estabilidade na inversão do operador integral, e de forma similar na inversão das matrizes associadas. Analisaremos brevemente algumas técnicas de regularização para o problema inverso, associadas à resolução problemas de recuperação de informação por medições sujeitas a ruído aleatório, com aplicações em problemas de engenharia e imagiologia médica.

02/02/2016, 11:30 — 12:30 — Abreu Faro Amphitheatre
Henrique M. Oliveira, Instituto Superior Técnico, Universidade de Lisboa

Sincronização, um fenómeno universal

Em inúmeros fenómenos de oscilação na Natureza surge a sincronização. O bater do coração, o emparelhamento das células cerebrais perante um estímulo que provoca a epilepsia, um feixe de luz laser, o caminhar sobre uma estrutura móvel, como no caso da Ponte do Milénio em Londres, a sincronização dos investimentos na bolsa, o acoplamento de osciladores na electrónica, o piscar sincopado dos pirilampos, os movimentos síncrono de cardumes e bandos de aves, todos estes fenómenos são sincronizações entre sistemas dinâmicos. A par do caos a sincronização é um dos fenómenos mais recorrentes na Natureza. Huygens, inventor do relógio de pêndulo, foi há 350 anos um dos primeiros matemáticos a observar esta sincronização entre dois pêndulos de dois dos seus relógios quando se encontravam na mesma parede. Mais tarde Adler observou o mesmo facto entre dois circuitos RLC. O caso dos pêndulos tinha vindo a ser estudado usando o modelo de base móvel, como acontece com os metrónomos que se podem ver em muitos filmes na internet, o que é outro exemplo de sincronização rápida na Natureza. Mas no caso dos relógios a sincronização é lenta, feita por pequenas perturbações que levam a uma sincronização muito estável e cujas equações são universais e semelhantes aos modelos de Adler. No fundo a diferença de fase obedece a uma iteração que tem um ponto fixo estável, naquilo que Adler já tinha observado em meados de 1946. Nesta história existem também mestres e escravos em oposição a parceiros com os mesmos direitos! Esta pequena série de palestras é uma viagem panorâmica por estes fenómenos, em que os estudantes têm apenas de conhecer a equação do oscilador harmónico e saber iterar uma função!

02/02/2016, 10:00 — 11:00 — Abreu Faro Amphitheatre
José Félix Costa, Instituto Superior Técnico, Universidade de Lisboa

Física e Computação

Com generalidade, a Física não é simulável. É uma grande surpresa ver como o problema da paragem dos algoritmos está relacionado com a simulação de uma teoria física... De um lado, temos a teoria física. De outro, temos a teoria da máquina de Turing, modelo de algoritmo. Que relação há entre estes dois mundos? Aparentemente nenhuma... A relação encontra-se nas virtualidades que os fenómenos naturais têm, quando interpretados no limite da teoria física, de manifestar o designado efeito de Zenão, processo que permite encapsular uma infinidade de eventos discretos num intervalo de tempo finito. É este o tema deste minicurso.

04/02/2015, 14:30 — 15:30 — Amphitheatre Pa1, Mathematics Building
Jorge Drumond Silva, Instituto Superior Técnico, Universidade de Lisboa

Ondas e Dispersão

Pretende-se, neste mini-curso, fazer uma introdução elementar ao conceito matemático de onda, assim como apresentar algumas equações descritivas de certos fenómenos físicos, cujas soluções exibem propriedades ondulatórias. Falaremos também da transformada de Fourier, como decomposição de funções do espaço e do tempo numa sobreposição de ondas planas, e da sua utilidade como técnica matemática fundamental para o estudo de soluções de equações a partir dos seus constituintes ondulatórios elementares. Por fim, definiremos o que se entende por dispersão e veremos algumas propriedades dela decorrentes, nas equações que contêm um carácter dispersivo.

04/02/2015, 11:30 — 12:30 — Amphitheatre Pa1, Mathematics Building
José Félix Costa, Instituto Superior Técnico, Universidade de Lisboa

Teoria Matemática do Conhecimento - Epistemologia Formal

Desde meados dos anos 60 que as ciências cognitivas e a atividade científica, teórica ou experimental, mereceram a atenção da lógica matemática, nomeadamente com o trabalho independente de dois investigadores proeminentes, Hilary Putnam (um dos quatro que demonstraram a indecidibilidade do 10º problema de Hilbert) e E. Mark Gold (que estabeleceu o primeiro modelo computacional da inferência indutiva). Os modelos que resultaram desta investigação sugerem que as ciências cognitivas e as metodologias de investigação científica têm limites que podem ser investigados pela Teoria da Computação associada à Teoria da Probabilidade, à Topologia e à Teoria de Conjuntos, nomeadamente quanto a padrões e regularidades que possam ser capturados pelas ciências formais.

Neste breve curso de duas horas, apresentam-se e discutem-se resultados significativos, em particular o Teorema de Gold e o Teorema de Putnam, bem como as suas mais diretas aplicações à compreensão do fenómeno da aquisição da gramática da língua natural e à refutação das teorias científicas (segundo Popper).

Discute-se ainda como, no quadro desta teoria — agora conhecida por Epistemologia Formal —, se pode compreender a axiomatização e a unidade das ciências.

See also

https://math.tecnico.ulisboa.pt/seminars/download.php?fid=51

Aula1_JFelixCosta2015.pdf

04/02/2015, 10:00 — 11:00 — Amphitheatre Pa1, Mathematics Building
José Natário, Instituto Superior Técnico, Universidade de Lisboa

O GPS e a Teoria da Relatividade

Neste mini-curso explicaremos o funcionamento geral do GPS, e a Matemática, muito simples, da determinação da posição do receptor a partir dos sinais dos satélites. Depois analisaremos duas das correcções mais interessantes que é necessário aplicar no cálculo da posição correcta: as correcções devidas à dilatação do tempo para relógios em movimento e para relógios num campo gravitacional.

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http://math.tecnico.ulisboa.pt/seminars/download.php?fid=43

03/02/2015, 11:30 — 12:30 — Amphitheatre Pa1, Mathematics Building
João Branco, Instituto Superior Técnico, Universidade de Lisboa

Dados e sua influência no desenvolvimento da Estatística

Dados são uma espécie de janela através da qual podemos espreitar a realidade do mundo que nos rodeia (In God we trust, all others bring data - William Edwards Deming). A Estatística disponibiliza meios que permitem visualizar os dados de forma a compreender a verdadeira natureza dessa realidade. Neste mini-curso pretende-se responder à seguinte questão: como é que os dados têm influenciado o desenvolvimento da Estatística? Interessa fazer o percurso desde os primórdios da Estatística até aos nossos dias, caracterizados pelos grandes desafios que  a produção massiva de grandes volumes de dados (Big Data) vem colocando.

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https://math.tecnico.ulisboa.pt/seminars/download.php?fid=45

03/02/2015, 10:00 — 11:00 — Amphitheatre Pa1, Mathematics Building
Jorge Drumond Silva, Instituto Superior Técnico, Universidade de Lisboa

Ondas e Dispersão

Pretende-se, neste mini-curso, fazer uma introdução elementar ao conceito matemático de onda, assim como apresentar algumas equações descritivas de certos fenómenos físicos, cujas soluções exibem propriedades ondulatórias. Falaremos também da transformada de Fourier, como decomposição de funções do espaço e do tempo numa sobreposição de ondas planas, e da sua utilidade como técnica matemática fundamental para o estudo de soluções de equações a partir dos seus constituintes ondulatórios elementares. Por fim, definiremos o que se entende por dispersão e veremos algumas propriedades dela decorrentes, nas equações que contêm um carácter dispersivo.

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CursoCompleto_JDrummondSilva.pdf

02/02/2015, 14:30 — 15:30 — Amphitheatre Pa1, Mathematics Building
José Félix Costa, Instituto Superior Técnico, Universidade de Lisboa

Teoria Matemática do Conhecimento - Epistemologia Formal

Desde meados dos anos 60 que as ciências cognitivas e a atividade científica, teórica ou experimental, mereceram a atenção da lógica matemática, nomeadamente com o trabalho independente de dois investigadores proeminentes, Hilary Putnam (um dos quatro que demonstraram a indecidibilidade do 10º problema de Hilbert) e E. Mark Gold (que estabeleceu o primeiro modelo computacional da inferência indutiva). Os modelos que resultaram desta investigação sugerem que as ciências cognitivas e as metodologias de investigação científica têm limites que podem ser investigados pela Teoria da Computação associada à Teoria da Probabilidade, à Topologia e à Teoria de Conjuntos, nomeadamente quanto a padrões e regularidades que possam ser capturados pelas ciências formais.

Neste breve curso de duas horas, apresentam-se e discutem-se resultados significativos, em particular o Teorema de Gold e o Teorema de Putnam, bem como as suas mais diretas aplicações à compreensão do fenómeno da aquisição da gramática da língua natural e à refutação das teorias científicas (segundo Popper).

Discute-se ainda como, no quadro desta teoria — agora conhecida por Epistemologia Formal —, se pode compreender a axiomatização e a unidade das ciências.

 

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https://math.tecnico.ulisboa.pt/seminars/download.php?fid=50

Aula1_JFelixCosta2015.pdf

02/02/2015, 11:30 — 12:30 — Amphitheatre Pa1, Mathematics Building
José Natário, Instituto Superior Técnico, Universidade de Lisboa

O GPS e a Teoria da Relatividade

Neste mini-curso explicaremos o funcionamento geral do GPS, e a Matemática, muito simples, da determinação da posição do receptor a partir dos sinais dos satélites. Depois analisaremos duas das correcções mais interessantes que é necessário aplicar no cálculo da posição correcta: as correcções devidas à dilatação do tempo para relógios em movimento e para relógios num campo gravitacional.

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CursoCompleto_JNatario2015.pdf

02/02/2015, 10:00 — 11:00 — Amphitheatre Pa1, Mathematics Building
João Branco, Instituto Superior Técnico, Universidade de Lisboa

Dados e sua influência no desenvolvimento da Estatística

Dados são uma espécie de janela através da qual podemos espreitar a realidade do mundo que nos rodeia (In God we trust, all others bring data - William Edwards Deming). A Estatística disponibiliza meios que permitem visualizar os dados de forma a compreender a verdadeira natureza dessa realidade. Neste mini-curso pretende-se responder à seguinte questão: como é que os dados têm influenciado o desenvolvimento da Estatística? Interessa fazer o percurso desde os primórdios da Estatística até aos nossos dias, caracterizados pelos grandes desafios que  a produção massiva de grandes volumes de dados (Big Data) vem colocando.

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CursoCompleto_JBranco2015.pdf

05/02/2014, 15:45 — 16:45 — Amphitheatre Pa1, Mathematics Building
Adélia Sequeira, Instituto Superior Técnico

A Matemática e a Medicina: modelação e simulação computacional de problemas clínicos

Qual a relação entre a Matemática e a Medicina? Será que através da resolução de equações diferenciais ou algébricas por métodos computacionais robustos e eficientes, utilizando técnicas de visualização gráfica dos resultados e técnicas de imagiologia médica, é possível contribuir de algum modo para o prognóstico e tratamento de doenças? Nestas lições pretende-se abordar estas questões intimamente ligadas a uma área de investigação multidisciplinar em franco desenvolvimento, que oferece grandes desafios aos matemáticos.

05/02/2014, 14:00 — 15:00 — Amphitheatre Pa1, Mathematics Building
Jaime Ramos, Instituto Superior Técnico

Verificação formal. Como e porquê?

Hoje em dia contactamos diariamente com computadores e sistemas de software em grande parte da nossa actividade diária. E, muitas vezes, nem nos apercebemos que tal acontece. Do despertador ao telemóvel, passando pelo elevador ou pelo automóvel, em todos podemos encontrar sistemas de software complexos. E, nos últimos anos, esta complexidade tem vindo a aumentar drasticamente. É importante garantir o bom funcionamento destes sistemas de forma eficiente. Neste curso, vamos fazer uma viagem pelas áreas da matemática que estão na base da especificação e verificação formal de sistemas. Vamos também contactar com ferramentas usadas pela indústria para este fim.

05/02/2014, 11:00 — 12:00 — Amphitheatre Pa1, Mathematics Building
Gustavo Granja, Instituto Superior Técnico

A topologia do planeamento do movimento de robots

A topologia é a disciplina da matemática que estuda os conceitos de forma e continuidade. O seu estudo teve início nos finais do século XIX e desde então a Topologia tornou-se central na Matemática e nas suas aplicações. Um exemplo familiar de um problema topológico é o de determinar se um campo vectorial é conservativo (ou gradiente) no seu domínio de definição. Neste curso vamos apresentar algumas das ferramentas matemáticas que se usam em topologia para distinguir formas e ver como são aplicadas ao problema de planear o movimento de robots.

05/02/2014, 09:15 — 10:15 — Amphitheatre Pa1, Mathematics Building
João Pedro Boavida, Instituto Superior Técnico

Simetrias, representações, e o átomo de hidrogénio

Usando as simetrias dum conjunto, podemos decompor funções em parcelas mais simétricas. Por exemplo, se o domínio for a reta real e a simetria for a reflexão na origem, as parcelas mais simétricas são as funções pares e ímpares, e é verdade que todas as funções (na reta real) são a soma de uma função par com uma função ímpar. Que outras simetrias podemos usar, e quais as funções que lhes estão associadas? O que se passa quando consideramos as rotações centradas na origem? Qual a diferença entre rotações no plano ou no espaço? E o que é que isso tem a ver com o átomo de hidrogénio?

04/02/2014, 11:00 — 12:00 — Amphitheatre Pa1, Mathematics Building
Conceição Amado, Instituto Superior Técnico

Mostrar, amostrar e reamostrar

Uma visão comum sobre a estatística aplicada é a de ser uma espécie de "detective numérico". Uma parte importante desse trabalho de detective é a seleção da amostra que formará a base para a inferência e a tomada de decisão. Mas se a amostra não tiver sido bem recolhida os resultados podem ser enganadores ao distorcerem a realidade. Este minicurso visa introduzir conceitos básicos de amostragem em populações finitas por forma a nortear os referidos "detectives numéricos".

04/02/2014, 09:15 — 10:15 — Amphitheatre Pa1, Mathematics Building
João Pedro Boavida, Instituto Superior Técnico

Simetrias, representações, e o átomo de hidrogénio

Usando as simetrias dum conjunto, podemos decompor funções em parcelas mais simétricas. Por exemplo, se o domínio for a reta real e a simetria for a reflexão na origem, as parcelas mais simétricas são as funções pares e ímpares, e é verdade que todas as funções (na reta real) são a soma de uma função par com uma função ímpar. Que outras simetrias podemos usar, e quais as funções que lhes estão associadas? O que se passa quando consideramos as rotações centradas na origem? Qual a diferença entre rotações no plano ou no espaço? E o que é que isso tem a ver com o átomo de hidrogénio?

03/02/2014, 15:45 — 16:45 — Amphitheatre Pa1, Mathematics Building
Adélia Sequeira, Instituto Superior Técnico

A Matemática e a Medicina: modelação e simulação computacional de problemas clínicos

Qual a relação entre a Matemática e a Medicina? Será que através da resolução de equações diferenciais ou algébricas por métodos computacionais robustos e eficientes, utilizando técnicas de visualização gráfica dos resultados e técnicas de imagiologia médica, é possível contribuir de algum modo para o prognóstico e tratamento de doenças? Nestas lições pretende-se abordar estas questões intimamente ligadas a uma área de investigação multidisciplinar em franco desenvolvimento, que oferece grandes desafios aos matemáticos.