Mathematics Winter School 

Hoje em dia contactamos diariamente com computadores e sistemas de software em grande parte da nossa actividade diária. E, muitas vezes, nem nos apercebemos que tal acontece. Do despertador ao telemóvel, passando pelo elevador ou pelo automóvel, em todos podemos encontrar sistemas de software complexos. E, nos últimos anos, esta complexidade tem vindo a aumentar drasticamente. É importante garantir o bom funcionamento destes sistemas de forma eficiente. Neste curso, vamos fazer uma viagem pelas áreas da matemática que estão na base da especificação e verificação formal de sistemas. Vamos também contactar com ferramentas usadas pela indústria para este fim.

A topologia é a disciplina da matemática que estuda os conceitos de forma e continuidade. O seu estudo teve início nos finais do século XIX e desde então a Topologia tornou-se central na Matemática e nas suas aplicações. Um exemplo familiar de um problema topológico é o de determinar se um campo vectorial é conservativo (ou gradiente) no seu domínio de definição. Neste curso vamos apresentar algumas das ferramentas matemáticas que se usam em topologia para distinguir formas e ver como são aplicadas ao problema de planear o movimento de robots.

Uma visão comum sobre a estatística aplicada é a de ser uma espécie de "detective numérico". Uma parte importante desse trabalho de detective é a seleção da amostra que formará a base para a inferência e a tomada de decisão. Mas se a amostra não tiver sido bem recolhida os resultados podem ser enganadores ao distorcerem a realidade. Este minicurso visa introduzir conceitos básicos de amostragem em populações finitas por forma a nortear os referidos "detectives numéricos".

As transformações discretas de wavelets têm muitas aplicações em ciência e tecnologia. A física moderna usa modelos de wavelets para explicar alguns fenómenos quânticos. De modo notável, as wavelets são usadas para processamento de sinais e imagens digitais, quando por exemplo é necessário representar um sinal de forma condensada. Neste mini-curso, iremos evoluir das bases ortonormais de Álgebra Linear, passando pelas transformações de Fourier, para construir por fim algumas formas básicas de wavelets. O conteúdo será apresentado de modo a encorajar um estudo posterior mais aprofundado sobre wavelets e as suas inúmeras aplicações.

A estatística e a genética são áreas científicas com fortes interligações: os métodos estatísticos são essenciais na análise da informação genética e muitos problemas colocados pela genética constituem verdadeiros desafios para a estatística, conduzindo muitas vezes à criação de novos métodos. Neste curso vamos começar por espreitar um mistério relacionado com os resultados das experiências de Mendel, em seguida olhamos para os métodos de construção de mapas genéticos e, por fim, analisamos alguns problemas levantados pelos conjuntos de dados da actual era genómica/proteónica.

A hormona HCG (Gonadotrofina Coriónica Humana), que é produzida na mulher durante a gravidez, pode ser detectada na urina utilizando um certo tipo de “teste de gravidez”, onde ocorre uma reação química do tipo antigene/anticorpo. O dispositivo é colocado num recipiente com urina e, se a hormona estiver presente, ela vai reagir com os anticorpos fixados previamente na extremidade do dispositivo. Neste caso, ao estabilizar-se a reação, aparece uma coloração numa janela do teste. O objectivo é obter o resultado num curto espaço de tempo (sem precisar de esperar horas ou dias!). Matematicamente o problema pode ser modelado por uma equação integrodiferencial de Volterra a qual pode ser resolvida utilizando métodos numéricos apropriados.

Toda a criptografia, clássica e moderna, é baseada de alguma forma na noção de segredo. Na prática, um segredo deve ser mantido, ou comunicado apenas a agentes da nossa confiança e, quando em ambiente hostil, deve poder ser usado sem ser revelado. Neste curso faremos uma digressão pela matemática (elementar) subjacente a algumas das técnicas usadas para estes fins, mesmo na presença de agentes desonestos – desde a partilha de segredos às provas de conhecimento nulo, passando pela computação multipartida, e pelas aplicações concretas em sistemas de identificação e esquemas de votação electrónica.

A classificação das representações irredutíveis dos grupos finitos é um resultado matemático surpreendentemente simples, e especialmente belo, que se pode aprender sabendo apenas álgebra linear. A teoria de representações de grupos é omnipresente na Matemática (um dos seus resultados é, por exemplo, a existência das séries de Fourier das funções periódicas) e nas suas aplicações. Na Física Quântica, ela explica propriedades de moléculas complexas como a buckyball (\(C_{60}\)) ou o benzeno (\(C_6H_6\)). De forma notável, ela explica também porque os físicos acreditam que grande parte da nossa massa é fornecida por uma troika… de quarks. (E apesar de nunca nenhum físico ter “visto” um quark!)