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Cálculo Diferencial e Integral I — Miguel Abreu

Cálculo Diferencial e Integral I
Professor Miguel Abreu

Aulas teóricas leccionadas ao 1º ano da Licenciatura em Matemática Aplicada e Computação, do Mestrado em Engenharia Física Tecnológica e do Mestrado em Engenharia Biomédica no 1º semestre de 2012/2013.

  1. Apresentação. Página da cadeira. Bibliografia. Avaliação. Propriedades algébricas dos reais. 1 2.
  2. Propriedades das relações de ordem. Módulo ou valor absoluto.
  3. Números naturais. Método de Indução Matemática. Somatórios e suas propriedades. 1 2.
  4. Mais indução e somatórios. Números Inteiros e Racionais. Números Irracionais.
  5. Funções Reais de Variável Real. Exemplos de funções elementares: polinomiais, racionais, trigonométricas e hiperbólicas. Gráficos. 1 2.
  6. Funções compostas. Funções de Heaviside e Dirichlet. Limite de uma função num Ponto: definição e primeiros exemplos. 1 2.
  7. Limite de uma Função num Ponto: mais exemplos, unicidade, operações algébricas. 1 2.
  8. Princípio do encaixe. Limite de funções compostas. Mais exemplos. Limites laterais. Recta acabada e indeterminações. Exemplos.
  9. Continuidade de uma função num ponto. Exemplos. Propriedades locais das funções contínuas. 1 2.
  10. Propriedades globais das funções contínuas: teoremas de Bolzano e de Weierstrass. Exemplos de aplicação.
  11. Demonstração dos teoremas da aula anterior: propriedade do supremo.
  12. Derivada de Uma Função num Ponto - interpretação geométrica e física. Exemplos.
  13. Derivadas Laterais. Diferenciabilidade e Continuidade. Regras Algébricas de Derivação. 1 2.
  14. Derivada de Funções Compostas. Diferenciabilidade e Extremos Locais. Teorema de Rolle.
  15. Teorema de Lagrange e Exemplos de Aplicação. Teorema de Cauchy.
  16. Regra de Cauchy ou de L'Hôpital e Exemplos de Aplicação.
  17. Derivadas de Ordem Superior à Primeira. Segunda Derivada e Extremos Locais. Concavidades e Inflexões.
  18. Assímptotas ao Gráfico de uma Função. Exemplo de Traçado do Gráfico de uma Função. Funções Injectivas e suas Inversas. 1 2.
  19. Funções Injectivas e suas Inversas (cont.). Continuidade e Diferenciabilidade de Funções Inversas. Exemplos.
  20. Resolução de exercícios de uma prova de avaliação de anos anteriores. 1 2.
  21. Resolução de problemas propostos pelos delegados dos cursos. 1 2.
  22. Motivação para a Noção de Integral. Partições, Somas Inferiores e Superiores. 1 2.
  23. Integral Superior e Inferior. Funções Integráveis e Não-Integráveis. 1 2.
  24. Critérios de Integrabilidade. Propriedades do integral: aditividade. 1 2.
  25. Propriedades do integral (cont.): linearidade e módulo. Integral Indefinido.
  26. Teorema Fundamental do Cálculo. Primitivas e Regra de Barrow. 1 2.
  27. Primitivação e Integração por Partes. Primitivação e Integração por Substituição. 1 2.
  28. Primitivação de Funções Racionais. Primitivação de Funções Trigonométricas.
  29. Primitivação de Funções Racionais de Senos e Cosenos Definição Integral das Funções Logaritmo e Exponencial. 1 2.
  30. Aproximação de funções por polinómios - polinómio de Taylor. 1 2.
  31. Fórmula de Taylor com resto integral. Aplicações. 1 2.
  32. Sucessões reais. Limite de uma sucessão. 1 2.
  33. Propriedades do limite de sucessões. Limites de sucessões e de funções. Sucessões monótonas e limitadas. 1 2.
  34. Séries numéricas: convergência, divergência e o exemplo das séries geométricas. Operações algébricas sobre séries. Condição necessária de convergência.
  35. Séries de termos não-negativos: critério da comparação e da razão. 1 2.
  36. Critério integral e séries de Dirichlet. Séries alternadas. Convergência simples e absoluta.
  37. Séries de potências.
  38. Séries de Taylor. 1 2.
  39. Séries de Taylor: exercícios. Algumas preciosidades do cálculo. 1 2.

Mais informações sobre o curso encontram-se no sistema Fénix.

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