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Análise Complexa e Equações Diferenciais
Professor Pedro Girão

Aulas teóricas leccionadas ao 2º ano da Licenciatura em Matemática Aplicada e Computação, do Mestrado em Engenharia Física Tecnológica e do Mestrado em Engenharia Biomédica no 1º semestre de 2012/2013.

1. Apresentação. Números complexos: forma cartesiana e polar, produto, raízes.
2. Desigualdade triangular. Raízes. Equações de rectas.
3. Equações de circunferências. Projecção estereográfica. Noções topológicas em \(\mathbb{C}\).
4. Representação de funções complexas. Continuidade e limite.
5. Continuidade e limite. Inversão complexa.
6. Inversão complexa. Transformações de Mobius.
7. Transformações de Mobius. Diferenciabilidade de funções complexas.
8. Diferenciabilidade de funções complexas.
9. Diferenciabilidade e transformações conformes.
10. Propriedades elementares das funções diferenciáveis. Diferenciabilidade em coordenadas polares.
11. Diferenciabilidade em coordenadas polares.
12. Convergência pontual e convergência uniforme.
13. Séries de potências.
14. Definição de integral.
15. Teorema Fundamental do Cálculo.
16. Teorema Fundamental do Cálculo. Teorema de Green.
17. Teorema de Cauchy. Fórmula Integral de Cauchy.
18. Fórmula Integral de Cauchy.
19. Aplicações da Fórmula Integral de Cauchy.
20. Séries de Taylor. Séries de Laurent.
21. Séries de Laurent. Classificação das singularidades isoladas.
22. Teorema dos Resíduos. Cálculo de integrais impróprios.
23. Integração de séries de Laurent. Exemplos de desenvolvimentos em série de Laurent.
24. Teorema dos Resíduos. Cálculo de integrais impróprios.
25. Exemplos de desenvolvimentos em série de Laurent. Cálculo de integrais impróprios.
26. Zeros de funções holomorfas.
27. Princípio do Argumento.
28. Determinação de uma função holomorfa a partir da sua parte real. Confirmação da Fórmula integral de Cauchy para as derivadas de uma função holomorfa por expansão da função integranda em série de Laurent.
29. Equações diferenciais ordinárias. Equações escalares de primeira ordem. Campos de direcções.
30. Equações escalares de primeira ordem. Resolução de uma equação linear homogénea.
31. Aspectos da resolução de equações diferenciais ordinárias. Resolução de uma equação separável.
32. Resolução de uma equação separável. Resolução de uma equação linear.
33. Problema com um reservatório. Resolução de uma equação linear. Resolução de uma equação exacta.
34. Resolução de uma equação exacta. Resolução de uma equação redutível a exacta.
35. Mudança de variáveis. Problema de ponto fixo.
36. Teorema de Ponto Fixo de Banach.
37. Teorema de Picard-Lindelöf.
38. Sistemas lineares de primeira homogéneos ordem com coeficientes constantes. Matriz diagonalizável com valores próprios reais.
    Aula dada por David Mota.
39. Matriz diagonalizável com valores próprios reais.
40. Matriz diagonalizável com valores próprios reais. Retrato de fase do sistema.
41. Matriz diagonalizável com valores próprios complexos. Retrato de fase do sistema.
    Aula dada pelo Samuel Balula.
42. Matriz não diagonalizável. Retrato de fase do sistema.
43. Matriz não diagonalizável. Retrato de fase do sistema.
44. Equações escalares de ordem superior a um. Equações lineares com coeficientes constantes homogéneas.
    Aula dada pela Ana Borges.
45. Equações lineares com coeficientes constantes não homogéneas. Problema de Kepler.
46. Séries de Fourier. Base ortogonal do espaço das funções de quadrado integrável.
    Aula dada pelo Rodrigo Vicente.
47. Prolongamentos pares e ímpares. Um problema de valores próprios e de funções próprias.
48. Resolução de EDPs por expansão em série de Fourier. Resolução da equação do calor com condições de Dirichlet homogéneas.
49. Resolução da equação do calor com condições de Dirichlet homogéneas.
50. Resolução da equação das ondas de Neumann homogéneas.
    Aula dada pela Bárbara Simões.
51. Interpretação da solução da equação do calor. Um modelo discreto no espaço e contínuo no tempo para a equação do calor.
52. Convergência uniforme de séries de Fourier.
53. As soluções formais da equação do calor e da equação das ondas obtidas nas aulas anteriores são soluções. Resolução da equação do calor com condições mistas.
    Aula dada pelo Rui Bastos e pela Anastasiya Strembitska.
54. Completude das séries de Fourier.
    Aula dada pelo Raúl Penaguião.
55. Solução de D'Alembert para a equação das ondas obtida por mudança de variáveis e obtida usando a transformada de Fourier.
    Aula dada pelo João Sabino e pelo Diogo Bragança.
56. Prova da convergência do modelo discreto no espaço e contínuo no tempo para a equação do calor. A resolução da equação para o movimento de uma viga encastrada não pode ser feita usando séries de Fourier.

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