Escola de Verão de
Matemática, Estatística e Computação
Instituto Superior Técnico — Julho 14 a 16 de 2014

A topologia é a teoria matemática das formas elásticas, com aplicações por exemplo nas formas assumidas por bio-moléculas como RNA. Tem desafios muito estimulantes para matemáticos, em particular a classificação de todas as formas de um determinado tipo. Nesta apresentação vamos ver como duas cordas interligadas podem ser classificadas pelos números racionais.

Iremos fazer uma pequena introdução ao Cálculo de Variações. Começaremos por contar a Lenda da princesa Dido e da fundação da cidade de Cartago. Esta história está associada ao Teorema Isoperimétrico:

Dado $x$, qual a figura do plano de perímetro $x$ com maior área?

Falaremos sobre este problema e a sua solução. Isto servirá para definir o objecto de estudo do Cálculo de Variações. De seguida falaremos do problema do braquistocrono e de alguns dos problemas clássicos de minimização.

O que visualizamos no ecrã de um computador é armazenado como um número, em notação binária, sob a forma de bytes. Toda a informação que produzimos e podemos guardar em computadores pode também ser considerada como um único número racional entre $0$ e $1$. Por mais que aumentemos essa informação apenas acrescentamos um número finito de bytes, de dígitos, continuando a poder ser representada como um número racional. 

Há mais informação no número $\pi$ do que aquela que alguma vez poderemos produzir?

A representação de números pode ser descodificada de diversas maneiras, desde palavras a imagens, ou até a uma sequência de DNA. Cada número guarda uma informação própria e podemos vê-la de diversas maneiras... por exemplo, com "curlicues". Porém, sem descodificador humano, essa informação será sempre vista como finita... Onde está então o infinito? 

Veremos então os "números que podemos representar"… 

David Hilbert terá dito que a matemática é um jogo que se joga segundo regras simples com marcas sem significado em papel. É certamente o maior jogo de todos que jogamos por livre vontade. Neste seminário propomo-nos a dar uma vista de olhos à matemática recreativa, que foca o lado lúdico da matemática. Daremos alguns exemplos e aconselhamos que tragam um baralho de cartas para verem que não é só em papel que se faz demonstrações matemáticas.

Neste mini-curso explicaremos o funcionamento geral do GPS, e a Matemática, muito simples, da determinação da posição do receptor a partir dos sinais dos satélites. Depois analisaremos duas das correcções mais interessantes que é necessário aplicar no cálculo da posição correcta: as correcções devidas à dilatação do tempo para relógios em movimento e para relógios num campo gravitacional.

Dispor de informação não chega! É preciso processá-la, entendê-la, encontrar padrões, para que esta nos seja útil. A complexidade dos problemas não se rende às nossas capacidades, limitadas a 3 dimensões. E em geral, estes são descritos por espaços de elevada dimensão. Como representar esta informação de forma a ser inteligível para nós? Uma possível resposta é dada por diversas técnicas de visualização, que serão ilustradas utilizando um software estatístico de utilização e código livres: o R.

Há problemas do dia-a-dia que parecem ser da Matemática mas, no entanto, nem a geometria, nem a álgebra, nem mesmo a arte de contar são suficientes para os resolver. A Matemática manifesta-se não apenas como ciência do espaço e dos números, mas também como ciência das coisas que não são números, nem necessariamente formas geométricas. Nesta sessão vamos rever a história de Dédalo que, a pedido do Rei Minos, construiu o Labirinto de Creta para aprisionar o Minotauro, e estudar como se constroem labirintos e como se sai deles quando nos perdemos.