Cálculo Diferencial e Integral III - 1º Semestre 2024/2025

Licenciaturas em Engenharia Física Tecnológica e Matemática Aplicada e Computação

Programa

Parte I: Teoremas de Stokes e Gauss

1. Superfícies em R³, variedades em Rⁿ e parametrizações.
2. Integrais de superfície de campos escalares e de campos vectoriais.
3. Divergência e rotacional de campos vectoriais.
4. Teoremas de Stokes e Gauss.

Parte II: Equações Diferenciais Ordinárias

1. Definição de solução de equação diferencial ordinária. Campos de direcções e traçado do gráfico de soluções.
2. Equações lineares escalares de primeira ordem, equações separáveis, exactas e factores integrantes.
3. Existência, unicidade e extensão de soluções: teoremas de Peano e Picard-Lindelöf.
4. Sistemas de equações diferenciais de primeira ordem: exponencial de matrizes e matrizes fundamentais; fórmula da variação das constantes.
5. Equações de ordem superior: a equação característica e a matriz companheira; método de redução de ordem; método dos coeficientes indeterminados.
6. Método da transformada de Laplace e aplicações à resolução de equações diferenciais de coeficientes constantes.

Parte III: Equações Diferenciais Parciais e Séries de Fourier

1. Dedução das equações diferenciais parciais de continuidade, onda, calor, Laplace e Poisson.
2. Método de separação de variáveis; problemas de valor inicial e fronteira.
3. Séries de Fourier, suas propriedades e convergência.
4. Algumas soluções de problemas de valor inicial e fronteira para as equações do calor, de Laplace e das ondas.