Observação importante: o conceito de limite introduzido nesta disciplina difere ligeiramente do apresentado no texto de apoio [AB], mas coincide com o do livro [CF]. Sobre esse assunto veja a observação
no fim deste guia de estudo.
Por esse motivo, disponibiliza-se em baixo um texto que servirá de alternativa às páginas 55-59 do texto [AB]. Note, contudo, que essa diferença será irrelevante nas situações que se nos depararão
no resto da matéria.
Limite de uma função num ponto.
Definição.
Desde o ensino secundário já conhecem a expressão
\[\lim_{x\to a}f(x)=b\,,\]
que se lê: "\(b\) é o limite de \(f(x)\) quando \(x\) tende para \(a\)", ou mais simplesmente, "\(b\) é o limite de \(f(x)\) em \(a\)".
A ideia intuitiva de limite pode ser dada pela seguinte frase, a qual é muito parecida com a que foi usada na aula anterior para expressar a ideia de continuidade:
"O número \(b\) é o limite da função \(f(x)\) em \(a\) quando, para garantir que \(f(x)\) esteja próximo de \(b\), basta garantir que \(x\) esteja suficientemente próximo de \(a\)."
Como se percebe rapidamente, esta afirmação, embora corresponda a uma ideia intuitiva correcta, é muito imprecisa (objectivamente, o que significa "próximo" e "suficientemente próximo", por exemplo?).
A primeira parte desta aula será dar um sentido preciso a este conceito de limite. Ou seja, defini-lo.
Para começar, note que no símbolo atrás figuram 3 objectos: uma função \(f(x)\) e dois reais \(a\) e \(b\).
Seja então \(f:D_f\to\mathbb{R}\) uma função dada.
Começemos por ver
para que pontos \(a\) fará sentido discutir o conceito de limite. Queremos discutir o limite de \(f(x)\) não só em pontos de \(D_f\) mas também naqueles que, embora não pertencentes a \(D_f\), possam ser
aproximados por pontos deste conjunto (de alguma forma estão "encostados" a \(D_f\)). Assim, por exemplo,
logo à partida não fará sentido falar de \(\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)\) quando \(f(x)=\sqrt{x-1}\), mas
já fará sentido falar do mesmo limite quando \(f(x)=\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}\), embora \(0\) não pertença ao domínio de nenhuma das duas funções. Introduzimos estes pontos
na definição seguinte:
Definição (ponto aderente) Seja \(A\) um conjunto de reais qualquer. Dizemos que um real \(a\) é um ponto aderente a \(A\) sse, para qualquer
vizinhança-\(\varepsilon\) de \(a\), \(V_{\varepsilon}(a)\), se tem,
\[V_{\varepsilon}(a)\cap A\ne\emptyset\,.\]
Dito de outra forma: há pontos de \(A\) arbitrariamente próximos do ponto \(a\).
Exemplos: Seja \(A=]0,1]\). Então, \(0\), \(\dfrac{1}{2}\) e \(1\) são pontos aderentes a \(A\), enquanto que \(-1\) e \(2\) já não o serão.
Repare o facto ilustrado por este exemplo de que qualquer ponto de um conjunto \(A\) é, ele próprio, um ponto aderente a \(A\).
Definição (aderência de um conjunto) A aderência de um conjunto \(A\), a qual designamos por \(\overline{A}\), é o conjunto de todos os pontos aderentes
ao conjunto \(A\).
Podemos agora definir o limite. Sejam dados uma função \(f:D_f\to\mathbb{R}\) e um ponto \(a\in\overline{D_f}\).
Vamos precisar um pouco mais a ideia contida na "definição" pouco precisa do início deste guia:
A ideia base daquela "definição" é que, para garantir que
\(f(x)\) "não se afaste de \(b\)" mais do que \(\delta\) (um "nível de exigência"),
basta controlar a distância de \(x\) a \(a\), bastando para isso, garantir que \(x\) se mantenha a uma distância de \(a\) inferior a uma certa "tolerância", \(\varepsilon\), a qual, em príncipio,
será tanto menor quanto menor for \(\delta\) (ou seja, "quanto maior for o grau de exigência"). Esta mesma afirmação tem que se verificar para qualquer nível de exigência \(\delta\).
Por outro lado, relembre que dizer que "\(f(x)\) está a uma distância de \(b\) inferior a \(\delta>0\)" é afirmar que \(|f(x)-b|<\delta\). De igual forma, dizer que
"\(x\) está a uma distância de \(a\) inferior a \(\varepsilon>0\)" é afirmar que \(|x-a|<\varepsilon\).
Sendo assim, a definição rigorosa de limite que corresponde àquela ideia posta de forma imprecisa no início é a seguinte:
Definição (limite de uma função num ponto). Seja \(f:D_f\to\mathbb{R}\) e \(a\in\overline{D_f}\). Diz-se que, para um certo real \(b\),
\[
\lim_{x\to a}f(x)=b,
\]
sse, para qualquer \(\delta>0\), existe \(\varepsilon>0\), tal que, para cada \(x\in D_f\) se tenha,
\[|x-a|<\varepsilon\quad\Rightarrow \quad |f(x)-b|<\delta.\]
Demonstra-se, mas não o vamos fazer, que se este limite existir ele é único, o que torna a expressão \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\) bem definida,
ou seja, em caso de existência ela representa um real bem preciso.
Exemplos de uso directo da definição:
Exemplo 1. Considere a função
\[f(x)=\frac{2x^2-2}{x-1}\,\quad\text{ com domínio }D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}.\]
Vamos ver que \(\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)=4:\)
Para começar, notemos que \(1\in\overline{D_f}\). Seja \(x\in D_f.\) Vejamos o que significa para \(x\) a condição \(|f(x)-4|<\delta\):
\[\left|\frac{2x^2-2}{x-1}-4\right|=|2(x+1)-4|=|2x-2|=2|x-1|.\]
Logo, para que a condição \(|f(x)-4|<\delta\) seja cumprida, basta que \(2|x-1|<\delta\), ou seja, que \(|x-1|<\dfrac{\delta}{2}\).
Repare que esta escolha é sempre possível, não interessa quão pequeno é \(\delta.\)
Vejamos então que está satisfeita a definição de limite:
Seja \(\delta>0\) qualquer. Escolhendo \(\varepsilon=\dfrac{\delta}{2}\) teremos, para qualquer \(x\in D_f\)
que, se \(|x-1|<\varepsilon\), então \(|f(x)-4|<\delta\), como queríamos demonstrar.
Exemplo 2. Considere a função \(f(x)=\sqrt{x}\), com domínio \(D_f=[0,+\infty[.\) Seja \(a\geqslant 0\).
Demonstremos que
\[\lim_{x\to a}\sqrt{x}=\sqrt{a}.\]
Prosseguindo com a mesma
estratégia do exemplo anterior, vejamos, em termos de condições sobre \(x\), como podemos garantir que \(|f(x)-\sqrt{a}|<\delta\):
\[|\sqrt{x}-\sqrt{a}|=\left|\frac{x-a}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}\right|\leqslant \frac{|x-a|}{\sqrt{a}},\]
Logo, dado \(\delta>0\) arbitrário, a condição \(|\sqrt{x}-\sqrt{a}|<\delta\) é cumprida se \(\frac{|x-a|}{\sqrt{a}}<\delta\),
ou seja, se \(|x-a|<\delta\sqrt{a}\). Assim,
dado \(\delta>0\) arbitrário, escolhendo \(\varepsilon=\delta\sqrt{a}\), teremos que, para \(x\in D_f\),
se \(|x-a|<\varepsilon\) então, \(|f(x)-\sqrt{a}|<\delta\), como queríamos demonstrar.
Exemplo 3. Um exemplo de não existência de limite. Considere a seguinte função de domínio \(D_f=\mathbb{R}\)
vulgarmente designada por função de Heaviside:
\[
f(x)=
\begin{cases}
0, &\text{ se }x\lt 0\\
1, &\text{ se }x\geqslant 0
\end{cases}
\]
Provemos, usando a definição, que esta função não tem limite em \(a=0\). Façamo-lo por absurdo:
suponhamos que existia \(\displaystyle b=\lim_{x\to 0}f(x)\).
Então, de acordo com a definição de limite, tomando por exemplo, \(\delta=\dfrac{1}{2}\),
existiria \(\varepsilon>0\) tal que, para todo \(x\in\left]-\varepsilon,\varepsilon\right[\) se teria
\(|f(x)-b|<\dfrac{1}{2}\). Mas isto significaria que,
\[
\begin{align*}
x\in\left]-\varepsilon,0\right[ \Rightarrow |0-b|<\dfrac{1}{2}\,,\\
x\in\left[0,\varepsilon\right[ \Rightarrow |1-b|<\dfrac{1}{2}\,.
\end{align*}
\]
Como ambas as condições se teriam que verificar simultaneamente, teríamos então necessariamente que
\[b\in \left]-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right[\;\cap\;\left]\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2}\right[=\emptyset,\]
o que, obviamente, é absurdo. Logo, a hipótese admitida de que existe o limite considerado é falsa.
Mais à frente veremos uma forma mais simples de provar a não existência de limite neste caso, quando estudramos os limites laterais.
Aconselha-se o estudo do exercício resolvido 1. da lista [LF], como um exemplo extra.
Limite de funções e continuidade.
Seja novamente \(f:D_f\to\mathbb{R}\) e \(a\in\overline{D_f}\). Reescrevamos a definição dada atrás de
\[\lim_{x\to a}f(x)=b\]
para \(b\in\mathbb{R}\), usando a linguagem simbólica dos quantificadores:
\[\forall_{\delta>0}\exists_{\varepsilon>0}\forall_{x\in D_f}\; |x-a|<\varepsilon\;\Rightarrow \; |f(x)-b|<\delta.\]
Compare com a definição de continuidade dada na aula anterior (definição 3.2.15 das notas [AB]). Repare nas únicas diferenças:
Na definição de continuidade exige-se que \(a\in D_f\), enquanto que, na definição de limite, poderá ocorrer
\(a\in\overline{D_f}\) com \(a\notin D_f\).
Na definição de continuidade o valor do limite, \(b\), é substituido pela imagem \(f(a)\).
Ora, isto significa de imediato que, se \(a\in D_f\) e \(f\) é contínua no ponto \(a\), então,
\[\lim_{x\to a}f(x)=f(a).\]
No entanto, podemos demonstrar um resultado mais forte:
Teorema (equivalência entre continuidade e existência de limite)
Seja \(a\) um ponto do domínio \(D_f\). Então, são equivalentes as duas afirmações 1) e 2) seguintes:
1) a função \(f\) é contínua no ponto \(a\);
2) existe
\(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x).\)
\(1)\;\Rightarrow\; 2)\):
A demonstração deste sentido da implicação é basicamente a observação que precede o enunciado deste teorema.
\(2)\;\Rightarrow\; 1)\):
Esta implicação é equivalente à implicação \(\;\sim 1)\;\Rightarrow\;\sim 2)\), ou seja, se a função não é contínua em \(a\)
então não existe \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\). Provemos esse facto.
Argumentemos por absurdo, assumindo a hipótese
(H) \(f\) não é contínua em \(a\) (isto é, verifica-se \(\sim 1)\)) mas existe
\(b=\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\) (isto é, verifica-se \(\;2)\)).
Então, \(b\neq f(a)\) (pois, \(b=f(a)\;\Rightarrow\; f \text{ é contínua em }a\), por substituição directa na definição de limite).
Então, tomando \(\delta=|f(a)-b|>0\), teremos que, para qualquer \(\varepsilon>0\), existe sempre \(x\in D_f\) tal que,
\[|x-a|<\varepsilon\;\wedge\; |f(x)-b|\geqslant \delta\,.\]
De facto, veja que \(x=a\) satisfaz a afirmação anterior.
Ou seja, para o \(\delta>0\) escolhido não existe um valor de \(\varepsilon>0\) que garanta
a implicação na definição de limite. Ou seja, não pode existir \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\) o que é absurdo por contrariar a hipótese (H).
Esta contradicção surgiu por admitirmos a hipótese (H), logo, ela é falsa, como queríamos demonstrar.
Sendo assim, no caso em que \(a\in D_f\), a simples existência de limite de \(f\) em \(a\)
implica imediatamente que a função seja contínua nesse ponto e que esse limite é necessariamente o valor \(f(a)\).
Vejamos os 3 exemplos da secção anterior: o teorema anterior não se aplica ao Exemplo 1, já que nesse caso, \(1\notin D_f\).
No Exemplo 2, ao usarmos o teorema anterior, confirmamos a continuidade da função \(f(x)=\sqrt{x}\) em todos os pontos do seu domínio.
No Exemplo 3, concluimos que \(f(x)\) não é contínua em \(a=0\).
Prolongamento por continuidade
Tomemos o exemplo 1 da primeira secção. Nesse caso, não fazia sentido falar da continuidade de \(f(x)\) no ponto \(1\) dado que \(1\notin D_f\),
muito embora exista \(\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)\). Notemos, no entanto, que, impondo a restrição \(x\not=1\), temos que
\[f(x)=\frac{2x^2-2}{x-1}=2(x+1).\]
Temos então por um lado, a função \(f\) dada, com domínio \(D_f=\mathbb{R}\setminus \{1\}\). Por outro lado, temos a função \(F\) definida por
\(F(x)=2(x+1)\) com domínio \(D_F=\mathbb{R}\). São duas funções diferentes na medida em que o domínio de \(F\) tem um ponto a mais do que o domínio de \(f\).
No entanto, nos pontos do domínio de \(f\) ambas coincidem. Dizemos então que \(F\) é um prolongamento de \(f\) ao ponto \(x=1\). Além disso,
como \(F\) é contínua no ponto \(x=1\), dizemos que a função \(F\) é um prolongamento por continuidade de \(f\) ao ponto \(x=1\).
Definição (prolongamento por continuidade) Considere-se uma função \(f\) e um ponto \(a\notin D_f\). Seja \(F\) uma função tal que
\(D_F=D_f\cup\{a\}\) e tal que \(F\) é contínua em \(a\). Dizemos então que a função \(F\) é um prolongamento por continuidade de \(f\) ao ponto \(a\). Se \(f\)
admite um prolongamento por continuidade ao ponto \(a\), dizemos que \(f\) é prolongável por continuidade ao ponto \(a\).
Mais alguns exemplos:
Exemplo 4. \(f(x)=\dfrac{x^2}{x}\), e nesse caso, \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}\). A função \(F(x)=x\,\), com \(D_F=\mathbb{R}\,,\) é prolongamento por
continuidade da função \(f\) ao ponto \(x=0\).
Exemplo 5. \(f(x)=\dfrac{x^2}{|x|}\), e nesse caso, \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}\). A função \(F(x)=|x|\,\), com \(D_F=\mathbb{R}\,,\) é prolongamento por
continuidade da função \(f\) ao ponto \(x=0\).
Exemplo 6. \(f(x)=\dfrac{|x|}{x}\), e nesse caso, \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}\). A função de domínio \(D_F=\mathbb{R}\) dada por
\[F(x)=\begin{cases}
-1, & x\lt 0\\
1, & x\geqslant 0,.
\end{cases}\]
é um prolongamento de \(f\) ao ponto \(0\), mas não é um prolongamento por continuidade de \(f\) a \(0\) (não é uma função contínua em \(x=0\)).
Nos exemplos 1, 4 e 5, casos em que \(a\notin D_f\), foi fácil explicitar prolongamentos por continuidade por resolução directa.
No entanto, poderemos ter casos em que não seja fácil ou mesmo possível decidir sobre a existência
de prolongamento por continuidade por explicitação de uma expressão conhecida, como
naqueles exemplos. Um caso destes, para já, é, por exemplo, \(f(x)=\dfrac{\operatorname{sen} x}{x}\). Precisamos então de um critério geral que nos dê uma resposta nesses casos:
Teorema (existência de prolongamento por continuidade) Seja \(f:D_f\to \mathbb{R}\) tal que \(a\in\overline{D_f}\),
mas \(a\notin D_f\). Então as seguintes afirmações 1) e 2) são equivalentes:
1) a função \(f\) é prolongável por continuidade ao ponto \(a\);
2) existe \(b=\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\).
Em caso de existência, esse prolongamento por continuidade é a função \(F\) de domínio \(D_F=D_f\cup\{a\}\) dada por,
\[F(x)=\begin{cases}
f(x)\,, &\text{ se }x\in D_f\\
b\,, &\text{ se }x=a
\end{cases}\]
onde \(b\) é o valor do limite acima.
1)\(\;\Rightarrow\;\) 2):
Suponhamos que \(f\) é prolongável por continuidade ao ponto \(a\) e que \(F\) é esse prolongamento por continuidade. Sendo, por definição,
\(F\) contínua em \(a\) podemos dizer que
\[\displaystyle\lim_{x\to a}F(x)=F(a)\,.\]
Mas, se \(\displaystyle\lim_{x\to a}F(x)\) existe, podemos concluir que também \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\) existe e tem o mesmo valor (veja que o conjunto de pontos \(x\) nos quais
é válida a implicação na definição de limite de \(F\) contem o conjunto de pontos que têm que satisfazer essa implicação para que \(f\) tenha esse mesmo limite: são os mesmos
pontos acrescidos do ponto \(a\)). Logo, \[\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=F(a).\] Ou seja, 2) é verdadeira, bem como a expressão para \(F(x)\).
2)\(\;\Rightarrow\;\) 1):
Suponhamos que existe \(b=\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)\), e seja \(F(x)\) dada como no enunciado. Veja novamente a implicação na definição de limite. Como existe o limite de \(f\)
sabemos que essa implicação é válida para todo \(x\in V_{\varepsilon}(a)\cap D_f\). Mas então, também é válida para todo \(x\in V_{\varepsilon}(a)\cap D_F\), uma vez que
\(D_F=D_f\cup\{a\}\), e a implicação é trivial para \(x=a\) (porque, de acordo com a definição de \(F\) dada, \(F(a)=b\)). Logo, \(F\) é contínua em \(a\) e, portanto, é prolongamento
por continuidade de \(f\) ao ponto \(a\). Logo, 1) é verdadeira.
Veja a aplicação deste resultado aos exemplos 1, 4, 5 e 6 acima. Em particular, no exemplo 6, a não existência de \(\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)\) (a qual pode ser
obtida pela definição, como o fizemos com a função de Heaviside, ou usando limites laterais como o faremos na próxma aula)
implica que \(f\) não é prolongável por continuidade ao ponto \(0\) neste caso.
Admitindo sem prova, para já, o seguinte limite notável,
\[\lim_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{sen} x}{x}=1,\]
concluimos que a função \(f(x)=\dfrac{\operatorname{sen} x}{x}\) de domínio \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}\) admite o seguinte prolongamento
por continuidade ao ponto \(0\):
\[F(x)=\begin{cases}
\dfrac{\operatorname{sen} x}{x}\,, &\text{ se }x\neq 0\\
1\,, &\text{ se }x=0
\end{cases}\]
Na próxima aula começaremos por concluir a relação entre limites e continuidade, com uma enumeração de várias das suas consequências importantes.
Observação geral: em vários textos como, por exemplo, nas notas [AB], embora a definição de continuidade seja universal,
a definição de limite pode ser ligeiramente diferente: em vez da condição \(|x-a|<\varepsilon\)
considera-se \(0<|x-a|<\varepsilon\), ou seja, exclui-se o
ponto \(x=a\). Não vamos por agora discutir esse assunto em detalhe, mas previne-se os alunos que, no caso em que \(a\in D_f\)
a equivalência entre continuidade e existência de limite pode ser falsa quando se exclui o ponto \(a\) na defiição de limite.
Voltaremos a falar sobre esta questão quando estudarmos limites relativos.