Análise Complexa e Equações Diferenciais — 1º Semestre de 2019/2020
LEIC-T, LEGI, LEE, LETI
Programa
Introdução à Análise Complexa
Números complexos. Séries numéricas, séries absolutamente convergentes. Séries de potências. Funções elementares. Diferenciabilidade de funções holomorfas. Séries de funções, funções analíticas. Integração de funções complexas. Teorema de Cauchy. Homotopia. Fórmula integral de Cauchy. Teorema de Taylor. Séries de Laurent. Singularidades isoladas. Teorema dos resíduos. Cálculo de resíduos. Aplicações do teorema dos resíduos. Integrais impróprios. Valor principal de Cauchy. Teoremas de convergência.
Equações e Sistemas de Equações Diferenciais Ordinárias
Equações de primeira ordem: equações lineares com coeficientes constantes, separáveis, exactas, factores de integração. Existência e unicidade de soluções. Extensão de solução. Resolução de sistemas de equações ordinárias lineares. Exponencial de uma matriz. Fórmula de variação das constantes. Equações lineares de ordem superior. Transformada de Laplace e Aplicações.
Equações Diferenciais Parciais e Séries de Fourier
Equação de calor e separação de variáveis. Séries de Fourier. Convergência das séries de Fourier. Solução das equações do calor, das ondas e de Laplace pelo método de separação de variáveis.
Bibliografia
Outros textos relevantes
- L. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw-Hill, 1979.
- L. Pessoa, Introdução à Análise Complexa , Departamento de Matemática, IST, 2009
- L. Magalhães, Métodos de Resolução de Equações Diferenciais e Análise de Fourier com Aplicações, Departamento de Matemática, IST, 2013
- M. Braun, Differential Equations and Their Applications, 4th edition, Texts in Applied Mathematics, vol. 11, Springer-Verlag, New York, 1993
|