Cálculo Diferencial e Integral III — 1º Semestre de 2023/2024
Engª Química, Engª do Ambiente e Engª de Materiais




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Planeamento das Aulas Teórico-Práticas

Nota: poderá sofrer ajustes
Semana 1 (9 a 13 de Setembro)
Aula 1   Classificação das equações diferenciais. Equações escalares de 1ª ordem. Equações lineares: caso homogéneo e caso geral. Resolução de alguns exemplos.
Aula 2   Equações separáveis. Intervalo máximo de solução; soluções que explodem em tempo finito. Alguns exemplos.
Semana 2 (16 a 20 de Setembro)
Aula 3   Equações exactas. Exemplos. Equações redutíveis a exactas. Exemplos e resolução de problemas.
Aula 4   Equações escalares lineares de ordem n. Caso n=2: solução de um PVI para a equação homogénea. Exemplo: oscilações amortecidas livres. Equação homogénea de ordem n de coeficientes constantes; polinómio característico e solução geral da equação. Exemplos.
Semana 3 (23 a 27 de Setembro)
Aula 5   Equações vectoriais (ou sistemas) de equações lineares de 1ª ordem no caso homogéneo; cálculo da solução geral reduzindo (por substituição) a uma equação linear homogénea de ordem $n$. Exemplos.
Aula 6   Equações vectoriais lineares de 1ª ordem. Funções matriciais. Equação homogénea e matriz solução fundamental. Soluções da equação homogénea.
Semana 4 (30 de Setembro a 4 de Outubro)
Aula 7   Fórmula da variação das constantes. Equações vectoriais lineares de coeficientes constantes. Caso homogéneo. Definição da exponencial de uma matriz. Soluções da equação homogénea e vectores próprios de A. Soluções reais. Série de potências da exponencial de uma matriz. Algumas propriedades de exp(At). Solução geral da equação homogénea e solução do problema de valor inicial correspondente.
Aula 8   Cálculo de exp(At). Exemplo. Equação linear de ordem n e equação vectorial de ordem 1 equivalente. Matriz companheira. Matriz wronskiana. Equação não homogénea. Fórmula de variação das constantes. Método dos coeficientes indeterminados; polinómio aniquilador. Exemplos.
Semana 5 (7 a 11 de Outubro)
Aula 9   Conclusão da matéria anterior e exemplos. Problema de existência e unicidade de solução para um problema de Cauchy de uma equação diferencial ordinária. Exemplos. Teorema de Picard.
Aula 10   Teorema de Picard (cont.). Problema integral equivalente ao problema de Cauchy. Iteradas de Picard. Unicidade de solução. Teorema de extensão de solução. Teorema de comparação de soluções. Exemplos.
Semana 6 (14 a 18 de Outubro)
Aula 11   Conclusão da matéria anterior e revisões.
5ª feira, 17/10/2024, 19h: 1º Teste de Avaliação Contínua (MAP45-1)
Aula 12   Definições de superfície em R³. Caso particular dos planos. Plano tangente e recta normal.
Semana 7 (21 a 25 de Outubro)
Aula 13   Exemplos de Superfícies. Produto Externo. Propriedades elementares do produto externo.
Aula 14   Definição do integral de superfície. Exemplos de cálculo de integrais de superfície. Divergência e rotacional de um campo vectorial. Algumas propriedades da divergência, rotacional e gradiente como, por exemplo, rot (grad f) =0 e div (rot f)=0.
28 de Outubro a 8 de Novembro
Interrupção lectiva:   Exames do 1º Período
Semana 8 (13 a 15 de Novembro)
Aula 15   Domínios regulares, normal exterior. Teorema da divergência. Exemplos. Interpretação física da divergência. Problemas de aplicação do teorema da divergência.
Aula 16   Superfícies orientáveis. Bordo de uma superfície. Teorema de Stokes.
Semana 9 (28 a 22 de Novembro)
Aula 17   Teorema de Stokes (cont.). Exemplos do cálculo de fluxos e de aplicação dos teoremas da de Stokes e da divergência. Exemplos do cálculo do trabalho de um campo vectorial por aplicação do teorema de de Stokes.
Aula 18   Resolução de problemas sobre o teorema de Stokes (cont.). Potenciais vectoriais e teorema de Stokes. Exemplos e resolução de problemas.
Semana 10 (25 a 29 de Novembro)
Aula 19   Conclusão da matéria anterior e revisões.
5ª feira, 28/11/2024: 2º Teste de Avaliação Contínua (MAP45-2)
Aula 20   Equações diferenciais parciais. Equações do calor, de Laplace e das ondas. Método de separação de variáveis para a equação do calor com condições de Dirichlet homogéneas. Série de Fourier: definição e exemplos.
Semana 11 (2 a 6 de Dezembro)
Aula 21   Convergência pontual das séries de Fourier. Séries de senos e séries de cosenos. Exemplos. Resolução da equação do calor com condições de Dirichlet e de Neumann.
Aula 22   Resolução da equação das ondas pelo método de separação de variáveis.
Semana 12 (9 a 13 de Dezembro)
Aula 23   Resolução do problema de valor inicial e de fronteira para a equação das ondas. Resolução da equação de Laplace pelo método de separação de variáveis. Exemplos.
Aula 24   Resolução de exercícios sobre equações diferenciais parciais e séries de Fourier.
Semana 13 (16 a 20 de Dezembro)
Aula 24   Definição da transformada de Laplace. Propriedades elementares da transformada de Laplace. Transformada de Laplace de algumas funções.
Aula 25   Transformada de Laplace da convolução. Aplicações da transformada de Laplace à resolução de problemas de valor inicial para as equações diferenciais ordinárias escalares de ordem n. Alguns exemplos.
23 de Dezembro a 3 de Janeiro)
Interrupção lectiva:   Férias de Natal.
Semana 14 (6 a 10 de Janeiro)
Aula 27   Conclusão da matéria.
4ª feira, 8/01/2024: 3º Teste de Avaliação Contínua (MAP45-2)
Aula 28   Esclarecimento de dúvidas.