Classificação

Fazer listas (tais como a tabela dos nós) é uma actividade humana básica. Contudo, atendendo à complexidade do mundo, não se pode fazer uma lista de tudo, pelo menos se se quer levar uma vida sensata. Talvez se lembre do Homem da Memória descrito por Luria em [Luria, A.R., (1968), The mind of a mnemonist, trans. by Lynn Solotaroff, Basic Books, New York.] que era incapaz de esquecer fosse o que fosse e, portanto, não era capaz de levar uma vida normal. Um dos factores de diagnóstico para crianças autistas é que se lembram de padrões sem sentido tão facilmente como de outros padrões [Wing, Lorna, (1976), Early childhood autism; clinical, educational, and social aspects, Pergamon Press, Oxford]. Assim, ao fazermos listas, impomos ou procuramos ordem: classificamos. Por exemplo, um zoólogo não faz uma lista de todos os animais numa reserva de caça, faz listas de antílopes, de elefantes, de leões, etc. Para fazer isso, ele precisa de critérios para dizer que dois animais são o mesmo. Em Matemática, a noção de igualdade ou, em termos matemáticos mais precisos, equivalência, é básica. A teoria dos nós apresenta pontos matemáticos interessantes nesta área. Primeiro, «Quando é que dois nós são o mesmo?» é uma pergunta não trivial. Segundo, fazer uma lista inicial dos primeiros elementos de uma família infinita envolve alguma classificação nos elementos «mais simples». Terceiro, mesmo a apresentação de uma tal lista simples sugerirá provavelmente a necessidade de mais ordem e classificação. Tratamos da primeira questão mostrando nas nossas tabelas como os diagramas de nós podem ser transformados sem mudar o nó. Esta é uma área em que desenhos animados por computador podiam ter melhorado muito a apresentação. No entanto, estávamos limitados pelo preço de produzir os desenhos e o preço de os apresentar numa exposição. Este último problema era mais fácil de superar, uma vez que podia ser feito um vídeo que podia facilmente ser mostrado na maior parte das escolas. Um dos objectivos que nos fixámos foi explicar o significado de uma lista de nós. Embora uma tal lista seja aparentemente simples, a explicação envolve as seguintes ideias:

quando é que dois nós são o mesmo;
número de cruzamento;
imagens no espelho;
a aritmética dos nós;
nós primos.

Estes temas dão ligação entre as várias tabelas. Discutimos quando é que dois nós são o mesmo. Isto também está ligado à noção de movimentos de Reidemeister discutida em «Quando é que 2 nós não são o mesmo». Decidir quando é que dois nós são o mesmo precisa da noção de Invariante.

Tabela de Nós

Aqui está uma lista de nós (em duas páginas). De facto, só tem uma lista de nós primos até aos que têm 9 cruzamentos e não distingue os nós das suas imagens no espelho. No entanto, dá uma ideia da complexidade do problema!

Decomposição em Elementos Simples

Decomposição em elementos simples é um processo básico em Matemática, ou de facto sempre que se trata de assuntos complicados. Em teoria dos nós este processo aparece de uma variedade de maneiras.

Já mencionámos a decomposição prima de nós. Aqui os nós primos são os elementos simples e o facto que qualquer nó se pode exprimir de maneira única (a menos da ordem) como soma de nós primos é claramente um facto importante sobre nós.
O processo de transformar um diagrama de nó noutro pode ser bastante complicado. É portanto interessante que um processo tão complexo possa ser decomposto numa sequência de algum dos quatro tipos de mudanças de cruzamentos simples, os movimentos de Reidemeister

juntamente com deformações sem alterar os cruzamentos. Ilustrámos isto ao modificar o nó de cadeira e também ao mostrar porque é que a colorabilidade de um nó é um invariante. Há uma infinidade de sequências de movimentos que se podem efectuar sobre um diagrama. É por isso que pode ser tão difícil decidir se dois diagramas representam ou não o mesmo nó. Se representarem o mesmo nó, pode ser difícil decidir qual é o menor número de movimentos que pode ser usado para transformar um diagrama noutro.

QUANDO É QUE DOIS NÓS SÃO O MESMO

Um lacete de fio tem essencialmente o mesmo tipo de «enodamento» independentemente da maneira como é puxado, torcido ou amarrotado. Isto quer dizer que todos os diagramas em cima de facto mostram o mesmo nó. A figura final é apenas o lacete sem nó disfarçado! Qualquer nó pode ser visto de uma infinidade de maneiras. O ponto essencial de uma figura é a maneira como estão dispostos os cruzamentos. Se duas figuras representam o mesmo nó, então uma figura pode ser transformada na outra pela utilização repetida de movimentos simples. Pode-se deformar a figura sem mudar nenhum cruzamento como em ...

Também se pode retirar, acrescentar ou mudar alguns dos cruzamentos da maneira indicada em cima. Isto ilustra uma característica muito importante da Matemática: reduzimos um processo complicado a uma sucessão de passos simples.

SIMPLIFICANDO O NÓ DE CADEIRA

A versão mais simples possível de um nó pode parecer muito diferente do seu aspecto usual. Consideremos o nó de cadeira, um nó usado frequentemente por marinheiros para fazer um lacete numa ponta de corda.

Se juntarmos as pontas, podemos mexer no fio através de várias posições até ele se cruzar a si próprio apenas seis vezes. A versão de seis cruzamentos do nó de cadeira é a representação mais simples possível deste nó. Dizemos que o nó de cadeira tem número de cruzamento 6.

Estes nós são o mesmo?

Pode ser muito difícil distinguir dois diagramas de nós complicados. Com apenas quatro movimentos pode-se tornar um nó irreconhecível. Em 1899 uma tabela de nós foi feita por C. M. Little. Os dois nós representados em baixo figuravam como diferentes. Só em 1974 é que K. M. Perko descobriu que os dois nós eram o mesmo. Uma tarefa que os matemáticos enfrentam é encontrar maneiras seguras de descobrir se dois nós são diferentes ou apenas versões deformadas um do outro. A teoria dos nós apresenta-nos muitos desafios destes.

COLORIR NÓS

Não interessa qual é a figura do nó que tentamos colorir. Ou todas as figuras de um nó são 3-coloríveis ou nenhuma é 3-colorível. Para descobrir porque é que isto é assim, tentemos ver o que se passa quando mudamos o diagrama de um nó através dos nossos movimentos simples.

Neste caso continuamos com uma cor
de ambos os lados

À direita temos três cores
e à esquerda não temos nenhum cruzamento

Mostramos em baixo dois dos numerosos casos que envolvem um terceiro tipo de movimento. Note que somos sempre autorizados a mudar algumas cores num movimento, mas temos de respeitar a regra básica: em cada cruzamento tem de haver ou uma cor ou três cores. Isto pode ser feito para cada movimento. Portanto vemos que uma figura que não é 3-colorível não pode ser um trevo disfarçado.

E quanto a outras maneiras de colorir? É interessante experimentar com mais de 3 cores, do mesmo modo, mas descobriu-se que isto não dá directamente um invariante do nó. Em vez disso tem de se usar um tipo de etiquetagem mais subtil que fornece novos invariantes. Tente experimentar com diversas maneiras de colorir os nós seguintes e outros diagramas deles.

NÓS PRIMOS

A analogia entre nós e números vai mais longe.
Um número primo é um que não é produto de números mais pequenos. Os primeiros números primos são

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, . . . .

Qualquer número pode ser escrito como produto de um conjunto de números primos. Aqui está um exemplo:

60 = 2 x 2 x 3 x 5 = 2 x 5 x 3 x 2.

O número 60 determina a lista 2, 2, 3, 5 de primos, mas não a ordem pela qual são usados.

O mesmo é verdade para os nós.

Um nó primo é um que não é soma de nós mais simples.
Exemplos de nós primos incluem:

. . . . .

Qualquer nó com número de pontes igual a 2 é um nó primo.

O trevo e o pentafólio são membros da família que contém o nó:

Estes são os nós de toro. Todos os nós de toro são nós primos. Por isso, há muitos nós primos. Qualquer nó pode ser escrito como soma de uma lista de nós primos. Estes nós primos são determinados pelo nó original, mas na prática pode ser muito difícil determinar quais são estes nós primos.

CRUZAMENTOS

Ao desenhar figuras de nós, representamos as sobreposições por cruzamentos. Quantos mais cruzamentos há, mais complicada é a figura.

Aqui está uma figura de um trevo com nove cruzamentos. Torcendo e amarrotando pode-se fazer uma figura de um nó com um número tão grandes de cruzamentos quanto se quiser! Portanto, para se estudar um nó é natural procurar uma figura dele com o número mínimo de cruzamentos. Ao número de cruzamentos dessa figura chama-se número de cruzamentos do nó.

O lacete sem nó tem número de cruzamentos 0. Qualquer figura com apenas 1 ou 2 cruzamentos tem de ser o lacete sem nó. Consegue ver porquê?

O trevo tem número de cruzamentos 3. A figura oito tem número de cruzamentos 4. Classificar nós pelo número de cruzamentos é um método para tentar compreender as complicações infinitas de nós e emaranhamentos.

IMAGENS NO ESPELHO

Aqui estão diagramas de trevos e figuras oito. Em cada caso, mostramos um nó e a sua imagem no espelho. Os dois trevos são diferentes: por muito que se torça e puxe um trevo, ele nunca se transformará na sua imagem no espelho. No entanto, as duas figuras oito são o mesmo nó, como podemos mostrar através dos movimentos seguintes:

Isto ilustra um ponto importante. Para mostrar que dois diagramas representam o mesmo nó, basta transformarmos um até conseguir mos formar o outro. Se (ao fim de algum tempo) não tivermos conseguido, podemos não ter sido suficientemente espertos ou os nós podem ser realmente diferentes. O que é difícil é mostrar que os nós são diferentes. Para isso precisamos da noção de invariante, que às vezes distinguirá um nó de outro, independentemente da forma em que são dados. Em 1984, foi descoberta toda uma série de invariantes novos. Para o trevo e a sua imagem no espelho, os invariantes são

Esta é uma maneira de saber que nenhuma forma de torcer e puxar vai transformar o toro na sua imagem no espelho.

l²m²-2l²-l⁴

l^-2m²-2l^-2-l^-4

Invariantes

A classificação de nós envolve dois aspectos:

quando é que dois nós são o mesmo?
e quando é que não são o mesmo?

O primeiro envolve geralmente a transformação de um diagrama de nó em outro. O segundo envolve a questão mais subtil de decidir quando é que uma tal transformação não é possível. Uma tal decisão envolve a noção de invariantes. Na nossa apresentação lidamos com quatro invariantes:

número de cruzamento;
número de desenlace ou Górdio;
número de coloração;
número de ponte.

Também mencionamos brevemente os novos polinómios de nós que nos permitem distinguir facilmente entre o trifólio e a sua imagem no espelho. A vantagem dos quatro invariantes que tratamos em detalhe é que eles podem ser apresentados facilmente a este nível e sugerem muitos exercícios e exemplos detalhados que as pessoas podem tentar por si. O outro ponto frisado pela discussão dos invariantes é que não pretendemos ter um conjunto completo de invariantes, isto é, não temos um método de distinguir todos os nós possíveis. Uma abordagem completamente diferente dos invariantes é dada pelo método dos caminhos e lacetes. Mais uma vez, isto não dá um conjunto completo de invariantes. Portanto, muitos problemas permanecem na teoria, e isto também é um ponto que é facilmente transmitido. Queremos que o leitor veja que a Matemática é, e continua a ser, uma actividade aberta. Mais geralmente, os matemáticos não estão entre aqueles que esperam que apareça uma nova teoria que de algum modo responda a todas as perguntas, uma espécie de `método universal de resolução de problemas'. Esperamos encontrar novas maneiras de ver e resolver velhas questões e encontrar interligações belas e surpreendentes de padrões, estruturas e relações com as quais se maravilhar.

Algumas curiosidades Interessantes:

Número de Ligações Primas

		Número mínimo de cruzamentos
		2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
Número de “componentes”	1	0	1	1	2	3	7	21	49	165	552	2176	9988
	2	1	0	1	1	3	8	16	61	?	?	?	?
	3	0	0	0	0	3	1	10	21	?	?	?	?
	4	0	0	0	0	0	0	3	1	?	?	?	?

Para a descoberta de algumas das relações dos Nós, Matemáticos famosos utilizaram as “tranças”. Eis aqui alguns exemplos ilustrativos de “tranças”:


, s₁	, s₂	s_{n - 1}
, s₁^-1	, s₂^-1	s_{n - 1}^-1

trefoils

Os tradicionais “Nós de gravata” também se estudam em Matemática, porque na verdade são espécie Nós. Ficam aqui alguns exemplos de “Nós de Gravata”:

	1. Situate the tie so that the end "A" is longer than end "B" and cross "A" over "B".		2. Bring "A" up through loop between collar and tie; then back down.
	3. Pull "A" underneath "B" and to the left, and back through the loop again.		4. Bring "A" across the front from left to right.
	5. Pull "A" up through the loop again.		6. Bring "A" down through the knot in front.
	7. Using both hands, tighten the knot and draw up to collar.

How to tie a Half Windsor

	1. Situate the tie so that the end "A" is longer than end "B" and cross "A" over "B".		2. Bring "A" up around and behind "B".
	3. Bring "A" up.		4. Pull "A" up and through the loop.
	5. Bring "A" around front, over "B" from left to right.		6. Again, bring "A" up and through the loop.
	7. Bring "A" down through the knot in front.		8. Using both hands, tighten the knot and draw up to collar.

How to tie a Four-in-Hand

1. Situate the tie so that the end "A" is longer than end "B" and cross "A" over "B".

2. Turn "A" back underneath "B".

3. Continue by bringing "A" back over in front of "B" again.

4. Pull "A" up and through the loop around your neck.

5. Hold the front of the knot loosely with your index finger and bring "A" down through front loop.

6. Remove finger and tighten knot snugly to collar by holding "B" and sliding the knot.

Durante o nosso pequeno estágio no IST aprendemos a distinguir Nós através de diferentes Polinómios. Fica aqui um exercício de distinção de Nós, utilizando o Polinómio de Jones.

J(right-trefoil) [t]