(LMAC e MMA - Área de Geometria)
2º Semestre 2002/03
Programa detalhado:
Parte 1: Álgebras de Lie (14 aulas de 90 minutos)
1. Definição e primeiros exemplos; as álgebras
de Lie clássicas [H,§1]
2. Derivações; ideais; homomorfismos e
representações
[H,§2]
3. Álgebras simples, semisimples, nilpotentes e resolúveis
[H,§3]
4. Teoremas de Engel, Lie e Cartan [H,§4]
5. A forma de Killing, critério de Cartan [H,§5]
6. Reducibilidade completa; lema de Schur; o Casimir; teorema de Weyl
[H,§6]
7. Representações de sl(2,C);
pesos e vectores máximos [H,§7]
8. Decomposição de Cartan; subálgebras de Cartan,
sistemas de raízes [H,§8]
9. Axiomática dos sistemas de raízes [H,§9]
10. Grupo de Weyl; raízes simples e sistemas irredutíveis
[H,§10]
11. Matrizes de Cartan; diagramas de Dynkin e sua classificação
[H,§11]
12. Realização dos diagramas de Dynkin [H,§12]
13. Teoria dos pesos [H,§13]
14. Pesos e representações irredutíveis [H,§20]
Parte 2: Grupos de Lie (12 aulas de 90 minutos)
1. Definição e primeiros exemplos; os grupos de Lie
clássicos [BD,I.1]
2. Campos vectoriais invariantes e subgrupos a um parâmetro [BD,I.2]
3. A aplicação exponencial [BD,I.3]
4. Espaços homogéneos e grupos quociente [BD,I.4]
5. Integração invariante [BD,I.5]
6. Representações; módulos semisimples [BD,II.1,2]
7. Caracteres e relações de ortogonalidade [BD,II.3,4]
8. Representações de SU(2) e de grupos abelianos [BD,II.5,8]
9. O anel das representações e o anel dos caracteres
[BD,II.7]
10. A álgebra das funções representativas [BD,III.1]
11. Análise em grupos compactos e o teorema de Peter-Weyl [BD,III.2,3]
12. Aplicações do teorema de Peter-Weyl [BD,III.4,5]
Bibliografia Essencial:
[H] | J. Humphreys, "Introduction to Lie Algebras and Representation Theory", Springer GTM 9, 1972. |
[BD] | T. Bröcker, T. Dieck, "Representations of compact Lie groups", Springer GTM 98, 1985. |
[F] | W. Fulton, J. Harris, "Representation Theory", Springer, 1991. |
[K] | A. Knapp, "Lie groups beyond an introduction", Birkhauser, 1996 |
[V] | V.S. Varadarajan, "Lie Groups, Lie Algebras, and their Representations", Springer-Verlag, 1974 |
[W] | F. Warner, "Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups", Springer Verlag, 1996. |
Avaliação:
50 % - Séries de problemas quinzenais ao longo do semestre.
50 % - Exame presencial ou trabalho sobre a matéria
a apresentar oralmente.
Página da disciplina em 2002/2003:
http://www.math.ist.utl.pt/GLAL/GLAL2003.html
Para mais informações contactar o Prof. Carlos Florentino. Tel. 218417127, e-mail: cfloren@math.ist.utl.pt