Aula 5: Funções injectivas, sobrejectivas, bijectivas. Função inversa. Exemplos.
Cap. I. Introdução à axiomática dos números reais: conjunto R, +, × e os números reais positivos como noções primitivas. Axiomas de corpo: comutatividade, associatividade, distributividade de + e ×.
Aula 6:
Continuação da aula anterior: axiomas de corpo e
consequências. Existência e unicidade de elemento neutro.
Existência de simétrico e inverso: definição
da subtracção e divisão. Propriedades
algébricas. Axiomas de ordem.
Aula 7:
Continuação da aula anterior: axiomas de ordem e
consequências.
Numeros negativos. Tricotomia e transitividade. Relação
de ordem e operações algébricas. 1>0. Os
conjuntos
N, Z e
Q: numeros naturais, inteiros e racionais.
Ler
[2] (Funções). Pags. 17-28, 31 de
[3].
Semana 13-3 a 17-3
Aula 8: Definição do conjunto dos números naturais
N: conjuntos indutivos. Princípio de indução matemática. Exemplos.
Aula 9: Continuação da aula anterior. As inclusões de
N em
Z, de
Z em
Q e de
Q em
R: se
s²=2 então
s não
é um número racional. Majorantes, minorantes,
máximo, mínimo, supremo e ínfimo de um subconjunto de
R. Exemplos.
Aula 10: Continuação da aula anterior. Axioma do supremo.
N não é majorado, propriedade arquimediana. Existência de numeros irracionais.
Ler pags. 28 a 40 de
[3].
Semana 20-3 a 24-3
Aula 11: Continuação da aula anterior. A operação de radiciação em
R. Densidade dos racionais e irracionais em
R:
em qualquer intervalo existem numeros racionais e irracionais.
Conjuntos finitos e infinitos. Exemplos. Conjuntos numeráveis.
Aula 12: Continuação da aula anterior:
Z e
Q são numeráveis; não numerabilidade de ]0,1[,
R. A recta real. Valor absoluto e propriedades, vizinhanças.
Cap. II. Sucessões reais: o gráfico e o conjunto dos termos de uma sucessão. Exemplos.
Aula 13: Sucessões de termos num subconjunto de
R.
Exemplos. Sucessões limitadas, majoradas e minoradas. Exemplos.
Sucessões monótonas, crescentes e decrescentes. Exemplos.
Sucessões definidas por recorrência.
Definição de sucessão convergente. Unicidade do
limite. Exemplos.
Ler pags. 44 a 66, 81 a 87, 91 a 94 de
[3]. Ler
[2] (Sucessões), até pag. 36.
Semana 27-3 a 31-3
Aula 14: Continuação da aula anterior. Qualquer sucessão convergente é limitada.
Propriedades algébricas do limite: soma, o produto de um
infinitésimo por uma sucessão limitada é um
infinitésimo, produtos, potências, quocientes, raizes.
Limite e relação de ordem.
Aula 15: Continuação
da aula anterior. Critério das sucessões enquadradas. A
convergência da progressão geométrica de
razão
r, e da raiz indice
n de
r. Uma sucessão limitada e monótona é convergente. Exemplos.
Aula 16:
Subsucessões. Qualquer subsucessão de uma
sucessão convergente é convergente, para o
mesmo limite - critério de divergência. Qualquer
sucessão tem subsucessões monótonas. Teorema de
Bolzano-Weiertrass: qualquer sucessão limitada tem
subsucessões convergentes. O conjunto dos sublimites de uma
sucessão. Exemplos.
Ler pags. 95 a 103, 105 a 106, 88 a 91, 115 de
[3]. Leitura complementar: pags. 107 a 110 de de
[3]. Ler
[2] (Sucessões), a partir da pag. 37.
Semana 3-4 a 7-4
Aula 17:
Continuação da aula anterior. O conjunto dos sublimites
de uma sucessão limitada é não vazio e limitado.
Limite superior e limite inferior de uma sucessão limitada. Uma
sucessão limitada é convergente sse o conjunto dos
sublimites é singular. Exemplos. Sucessões de Cauchy.
Qualquer sucessão convergente é de Cauchy. Qualquer
sucessão de Cauchy é limitada, convergente.
Aula 18: A
recta acabada. Definição de vizinhanças de
infinito, e de limtes infinitos. Exemplos. Propriedades da
convergência na recta acabada: qualquer sucessão
monótona converge, qualquer sucessão tem
subsucessões convergentes. Limite e relação de
ordem. Cálculo de limites e operações
algébricas na recta acabada: indeterminações com a
soma. Exemplos.
Aula 19: Continuação da aula anterior. Limite da raiz indice
n
de uma sucessão. Exemplos. Indeterminações com
produto, quociente. Exemplos. Escala de sucessões.
Sucessões do tipo potência-exponencial e indeterminações.
Ler pags. 116 a 132, 135 a 148, 152 a 158 de
[3].
Semana 10-4 a 12-4
Aula 20: Continuação da aula anterior.
Cap. III. Séries.
Paradoxo de Zenão. A sucessão de somas parciais.
Séries convergentes e séries divergentes. Exemplos. A
soma dos termos de uma progressão geométrica.
Aula 21:
Séries geométricas e séries de Mengoli. Exemplos. Converge
para zero o termo geral de uma série convergente. A série
harmónica é divergente.
Ler pags. 159 a 171 de
[3].
Semana 20-4 a 21-4
Aula 22: Continuação da aula anterior. Critério de Cauchy, resto de ordem
p.
Linearidade. Séries de termos não-negativos: é
crescente a sucessão de somas parciais. Critério geral de
comparação e corolários. Exemplos.
Ler pag. 172, pags. 174 a 177 de
[3].
Semana 24-4 a 28-4
Aula 23:
Continuação da aula anterior. Critério da
razão e critério d'Alembert. Critério da raiz e
critério de Cauchy. Exemplos. Séries de Dirichlet.
Aula 24:
Séries de termos sem sinal fixo. Convergência absoluta e
convergência simples. Uma série é absolutamente
convergente sse são convergentes as séries de termos
positivos e negativos. Exemplos. Critério de Leibniz.
Aula 25:
Continuação da aula anterior. Exemplos. Qualquer
série obtida por permutação dos termos de uma
série absolutamente convergente é também
absolutamente convergente e com a mesma soma. Teorema de Riemann (para
séries simplesmente convergentes). Séries de
potências: definições e exemplos.
Ler pags. 178 a 182, 184 a 188, 195 a 209 de
[3].
Semana 2-5 a 5-5
Aula 26: O raio de
convergência de uma série de potências: o
domínio de convergência é um intervalo. Exemplos.
Funções definidas por séries de potências: a
função exponencial.
Aula 27:
Continuação da aula anterior. Série produto.
Propriedades da função exponencial. As
funções
sen e
cos. Fórmula fundamental da trigonometria. As funções hiperbólicas
sh e
ch.
Ler pags. 216 a 221, 212 a 216, 242 a 246, 250 a 252, 267 a 270 de
[3]. Leitura complementar: pags. 252 a 265 de
[3].
Semana 8-5 a 12-5
Aula 28: Cap. IV. Funções reais de variável real: continuidade e limite.
Definições: funções limitadas, pares e
impares, monótonas. Exemplos: funções polinomiais,
racionais, exponenciais, trigonométricas. Funções
injectivas e sobrejectivas. A função inversa. Exemplos.
Aula 29: Continuação da aula anterior: f
unções trigonométricas inversas
arcsen,
arcos,
arctg. Continuidade de funções: definição no sentido de Cauchy. Exemplos.
Aula 30: Continuidade
de funções definidas por séries de
potências. Algumas propriedades locais de continuidade num ponto.
Definição de continuidade no sentido de Heine.
Continuidade da soma, produto e quociente de funções
contínuas. Continuidade da função composta.
Ler pags. 231 a 241, 247 a 249, 265 a 266, 270 a 283 de
[3].
Semana 15-5 a 19-5
Aula 31:
Continuação da aula anterior: exemplos.
Definição de limite num ponto aderente ao domínio;
limites infinitos e limites para infinito. Exemplos. Num ponto do
domínio, existência de limite é equivalente a
continuidade. Limites laterais;
f é contínua em
a sse os limites laterais são iguais e coincidem com
f(a).
Aula 32:
Definição equivalente de limite com
sucessões. Exemplos. Propriedades algébricas do limite.
Limite da função composta. Exemplos. Prolongamento por
continuidade a pontos aderentes ao domínio e equivalência
com a existência de limite.
Aula 33: Continuação
da aula anterior: exemplos. Propriedades globais de
funções contínuas num intervalo. Teorema do valor
intermédio e alguns corolários: funções
contínuas tranformam intervalos em intervalos.
Aplicações à determinação do
contradomínio de uma função. Exemplos.
Ler pags. 283 a 304, 309 a 316 de
[3].
Semana 22-5 a 26-5
Aula 34:
Continuação da aula anterior. Teorema da continuidade da
função inversa. Aplicação: continuidade e
limites de funções do tipo potência-exponencial.
Teorema de Weiertrass: uma função contínua num
intervalo fechado tem máximo e mínimo nesse intervalo.
Aula 35: Cap. V. Funções reais de variável real: diferenciabilidade.
Noção de derivada; razão incremental, recta
tangente. Função diferenciável num ponto interior
ao domínio. Função derivada, domínio de
diferenciabilidade. Derivadas laterais. Exemplos. Uma
função diferenciável num ponto é
contínua nesse ponto. Regras de derivação: soma, produto, quociente.
Aula 36: Continuação
da aula anterior. Exemplos. Teorema da derivada da função
composta. Exemplos. Teorema da derivada da função
inversa. Exemplos: derivadas de funções
trigonométricas inversas. Aplicação ao
cálculo de derivadas de funções do tipo
potência-exponencial.
Ler pags. 317 a 320, 347 a 369 de
[3]. Leitura complementar: pag. 369 a 372 de
[3].
Semana 29-5 a 2-6
Aula 37:
Continuação da aula anterior. Extremos: máximos,
mínimos, extremos relativos ou absolutos. Exemplos. Se f
é diferenciável em
a e
a é ponto de extremo então
f'(a)=0. Teorema de Rolle e corolários. Teorema de Lagrange.
Aula 38:
Continuação da aula anterior: corolários do
Teorema de Lagrange. Intervalos de monotonia. Exemplos. Teorema de
Cauchy e regra de Cauchy. Exemplos.
Aula 39:
Exercícios de cálculo de limites através da regra
de Cauchy. Estudo de funções. Revisões.
Ler pags. 372 a 393 de
[3].
Referências: