Notas sobre Sólidos Platónicos e Simetrias

 

 

Paulo R. Pinto[1]

 

 

Departamento de Matemática – Instituto Superior Técnico

(28 de Junho de 2006)

 

Resumo

 

Os alunos serão guiados a resolver alguns desafios mencionados ao longo do texto. Ao construir poliedros regulares, os alunos irão encontrar a fórmula de Euler, que quando aplicada a um dado poliedro regular convexo se conclui que esse poliedro terá de ser um dos cinco Sólidos Platónicos.

Discute-se o aparecimento de poliedros em estruturas moleculares da Biologia/Química. Finalmente introduz-se a noção de simetria e calcula-se o grupo das simetrias do tetraedro. Dado o uso de animações estas notas devem ser lidas usando a ligação via internet da página do encontro.

 

 

Conteúdo

 

1 Introdução

2 Construção dos Sólidos Platónicos e a fórmula de Euler

3 Classificação dos Poliedros regulares

4 Simetrias

5 Bibliografia

 

 

1 Introdução

 

Os poliedros são estudados desde a Grécia Antiga na escola de Pitágoras, 600 aC, embora haja evidencia de que os Povos Neolíticos que viveram na Escócia tinham esculpidos alguns destes sólidos 1000 anos antes. Alguns destes modelos, ver figura 1, encontram-se no Museu Ashmolean em Oxford, Reino Unido.

 

 

FIG 1: Modelos Neolíticos dos Sólidos Platónicos

 

 

Os poliedros ilustrados na figura 2 tiveram um papel crucial na Filosofia de Platão, que serão os nossos objectos de estudo.

              

          FIG 2: Tetraedro       Cubo (Hexaedro)       Octaedro           Dodecaedro            Icosaedro

 

Na sua admiração e entusiasmo (porquê só cinco?) pela Geometria, Euclides e a Grécia Antiga, chamou a estes os Sólidos Platónicos associando-os aos átomos do universo. Da mesma forma que hoje nós acreditamos que toda a matéria é feita de combinações de átomos, também na Grécia Antiga se acreditava que a matéria era feita com os sólidos Platónicos.

 

Também se acreditava que toda a matéria também tinha o lado místico. Assim, no diálogo Timaios, Platão associou o tetraedro ao elemento fogo, o cubo à terra, o icosaedro à água e finalmente o dodecaedro ao quinto elemento (o universo).

 

                                                                   

    Pitágoras (569? aC—475 aC)        Platão (427 aC—347 aC)           Euclides (325 aC—265 aC)

O cubo, tetraedro e o dodecaedro tinham sido considerados pelos pitagóricos, e os restantes por Theætetus – amigo de Platão -- que pensava que o universo estava envolvido por um dodecaedro gigante.

 

Os pitagóricos sabiam que existiam apenas cinco regular sólidos regulares convexos e que cada um podia ser rigorosamente circunscrito por uma esfera. Euclides descreve estes sólidos no seu livro Elementos, parte XIII, da proposição 13 à proposição 17, onde se encontra o argumento heurístico de que estes são os únicos sólidos regulares. O matemático Euler fez a demonstração deste resultado no séc. XVIII.

 

 

Kepler no início do séc. XVII, sugeriu associar os Sólidos Platónico aos planetas conhecidos nessa altura: Mercúrio, Vénus, Marte, Júpiter e Saturno.

 

 

                                                           

                    

  Euler (1707---1783)                                 Kepler (1571---1630)

           

                         

 

2 Construção dos Sólidos Platónicos e a formula de Euler

 

Para resolver os seguintes desafios, será necessário fazer vários recortes dos seguintes polígonos:

               

       FIG 3:   Triângulo Equilátero        Quadrado          Pentágono Regular     Hexágono Regular        

 

Desafio 1:

a) Cole três triângulos com um vértice comum. A partir daqui construa um sólido com o mesmo tipo de vértice. Qual foi o sólido que obteve?

b) Repita o processo descrito em a) com quatro triângulos à volta do mesmo vértice, depois com cinco, seis, etc. O que está obtem?

 

Desafio 2:

a) Cole três quadrados à volta do mesmo vértice. A partir daqui construa um sólido com o mesmo tipo de vértice. O que obteve?

b) Repita este processo com quatro, cinco,... quadrados à volta do mesmo vértice. Qual é a conclusão?

 

Desafio 3:

a) Ligue três pentágonos à volta do mesmo vértice. A partir daqui construa um sólido com o mesmo tipo de vértice. O que obteve?

b) Repita este processo com quatro, cinco,... pentágonos à volta do mesmo vértice. Qual é a conclusão?

 

 

Desafio 4:

a) Cole três hexágonos à volta do mesmo vértice. A partir daqui construa um sólido com o mesmo tipo de vértice. O que obteve? Conseguiu construir um sólido?

 

Obtém-se assim os cinco Sólidos Platónico e facilmente se conclui a seguinte tabela (como exercício, use a planificação destes sólidos para preencher esta tabela).

 

Propriedades básicas dos Sólidos Platónicos

Sólido

Faces

Arestas que
concorrem em cada Face

Vértices

Arestas
 por Vértice

Arestas

Sólido Dual

Tetraedro

4

3

4

3

6

Tetraedro

Cubo

6

4

8

3

12

Octaedro

Octaedro

8

3

6

4

12

Cubo

Dodecaedro

12

5

20

3

30

Icosaedro

Icosaedro

20

3

12

5

30

Dodecaedro

 

 

 

Sólidos Platónicos (clique em cima de cada imagem e faça rotações)

Tetraedro

Cubo

Octaedro

Icosaedro

Dodecaedro

 

 

Formula de Euler (facto elementar da moderna topologia algébrica – ramo da Matemática): Seja P um poliedro convexo (não necessariamente regular), então temos:

 

F – A + V = 2,

 

onde F, A e V, denotam o número total de faces, arestas e vértices (respectivamente) do poliedro. Notamos que a primeira prova desta fórmula foi feita por Cauchy.

 

Desafio 5: Verifique a validade da fórmula de Euler em cada um dos sólidos Platónicos!

 

Ligando os centros de todos as faces adjacentes de cada Sólido Platónico obtém-se assim um outro sólido (mais pequeno) que é novamente um Sólido Platónico. Designa-se por sólido dual a este sólido que se obteve a partir do inicial.

                                                              

                                                   FIG 4:  O dual do Cubo é o Octaedro

 

Como exemplo, temos que o Octaedro é o sólido dual do Cubo, como ilustra a figura 4.

 

Como o número de faces (vértices) do sólido dual é por construção igual ao número de vértices (faces) do sólido original, podemos então concluir a validade da última coluna da Tabela preenchida em cima.

 

 

Dualidade (clique em cima de cada imagem para fazer rotações)

Dual do tetraedro

Dual do cubo

Dual do octaedro

Dual do dodecaedro

Dual do icosaedro

 

 

 

 

3 Classificação dos Poliedros Regulares

 

 

DEFINIÇÃO:

1.     Uma linha poligonal é uma sequência finita, fechada, de segmentos de rectas num mesmo plano. A esses segmentos de recta chamam-se arestas e os pontos onde as arestas se intersectam denominam-se por vértices. Em particular duas arestas podem intersectarem-se no máximo num vértice. A superfície plana delimitada pela sequência pela linha poligonal designa-se por polígono.

2.     Poliedros (poli = muitos; hedros = faces) são sólidos delimitados por polígonos.

3.      O poliedro diz-se regular se as suas faces são todas iguais assim como as suas arestas e vértices. Isto implica que as faces são todas feitas do mesmo polígono regular.

4.     Um poliedro é convexo se dados dois pontos no poliedro então qualquer ponto no segmento de recta entre esses pontos ainda pertence ao poliedro.

Note que o número de polígonos regulares é infinito:

   ....

  Para entendermos melhor a noção de convexidade o melhor é descreve-la geometricamente em superfícies planas como na figura que se segue:

                                

                                             

                                                    FIG 5:       Não Convexo                           Convexo

 

 

É óbvio ver que todos os Sólidos Platónicos são de facto poliedros regulares convexos, pelo que a pergunta natural que se impõe é: Haverá outros poliedros regulares convexos?

O seguinte resultado, com a sua prova, respondem cabalmente a esta questão de forma negativa.

 

TEOREMA:

 Os sólidos Platónico são os únicos poliedros regulares conexos.

 

DEMONSTRAÇÃO:

Suponhamos que temos N faces (cada face um polígono com K arestas) que se encontram num só vértice. Então o ângulo de cada canto do poliedro é T=(K - 2)p/K: isto porque basta considerar o polígono que tem K arestas e formar K triângulos concêntricos como da figura em abaixo, para o caso K=7.

Como a soma de todos os ângulos adjacente ao vértice do centro do polígono é de 360º=2p, temos que cada um tem 2p/K radianos. Considerando o triangulo rectângulo destacado (de cor amarela) no último polígono em baixo, temos que os ângulos valem p/K, p/2 e T/2, mas como a soma dos ângulos internos é de 180º=p, concluímos:

 

p/K + p/2+T/2=p,

 

Portanto

T/2=p-p/K-p/2= (2Kp-2p-Kp)/(2K)=(Kp-2p)/(2K),

 

pelo que T=(K - 2)p/K.

                 

                                                           FIG 6: Polígono regular com K=7 arestas

Uma vez que o poliedro é convexo e temos R ângulos adjacentes ao vértice:

N (K - 2)p/K <  2p ,

porque a soma das amplitudes dos ângulos internos dos diversos triângulos adjacentes, no vértice, ser inferior a 360º. Portanto

(N - 2)(K - 2) < 4.

Logo os únicos inteiros que satisfazem esta desigualdade são:

(K, N)= (3, 3), (4, 3), (3, 4), (5, 3), (3, 5),

que são precisamente os sólidos Platónicos!

FIM DA DEMONSTRAÇÃO.

Desafio 6: fazer a correspondência entre os Sólidos Platónicos e os pares (3, 3), (4, 3), (3, 4), (5, 3), (3, 5) obtidos na prova do teorema anterior.

Observação: Também se pode usar a fórmula de Euler para provar este teorema. A prova é como segue:

O formula de Euler diz-nos que:

F – A + V = 2.

 Cada poliedro tem n faces, cada face tem k arestas e p vértices. Facilmente concluímos que

F=n, A=nk/2, V=nk/p.

Em particular,

2 A=kF=pV,

 

 pelo que a fórmula de Euler para este poliedro implica:

2A/k – A + 2 A/p=2,

2 A(1/k+1/p) = A+ 2,

1/k+1/p= 1/2+ 1/A,

Portanto: 1/k+1/p >1/2,

Sabemos que n tem de ser maior ou igual a 4, uma vez que não podemos construir um poliedro fechado cujo número de faces seja menor ou igual a 3. Obviamente que k tem de ser maior ou igual a 3 assim como p, pelo que facilmente chegamos ao resultado apresentado da tabela seguinte:

K

p

Poliedro

3

3

Tetraedro

3

4

Octaedro

3

5

Dodecaedro

4

3

Cubo

5

3

Icosaedro

As duas provas que acabamos de elaborar são exemplos de como se elabora e demonstra uma afirmação (ver o enunciado do teorema) Matemática abstracta/moderna, baseando-nos em conceitos/definições previamente estabelecidos e justificados.

 

Nota 1

Os Sólidos de Arquimedes ou poliedros semi-regulares são, grosso modo, poliedros convexos cujas faces são polígonos regulares de mais de um tipo. Todos os seus vértices são congruentes, isto é, existe o mesmo arranjo de polígonos em torno de cada vértice. Além disso, todo vértice pode ser transformado em outro vértice por uma simetria do poliedro. Existem apenas treze poliedros arquimedianos e são todos obtidos por operações sobre os Sólidos Platónicos. A título de exemplo, um deles designa-se por Icosaedro truncado e que é usada na moderna bola de futebol: 32 faces, 12 pentágonos, 20 hexágonos:

                                

                 FIG 7: Construção da bola de futebol a partir do Icosaedro

 

 

Obtém-se assim a (moderna) bola de futebol:

          

          FIG 8: Icosaedro truncado (ou bola de futebol ou ainda a molécula do futeboleno C60)

 

O Icosaedro truncado reencontrou novas e interessantes aplicações com a descoberta da molécula do futeboleno C60 (buckminsterfullereno ou buckyball) que foi comunicada num artigo da revista Nature, em 1985, por H. W. Kroto, J. R. Heath, S. C. O'Brien, R. F. Curl e R. E. Smalley.  O primeiro e os dois últimos foram galardoados com o prémio Nobel da Química de 1996. Esta descoberta marca o início de uma nova área do conhecimento: a nanotecnologia. A molécula tem uma estrutura semelhante a uma bola de futebol. É constituída por 60 átomos de carbono, que formam 12 pentágonos e 20 hexágonos. Faz-se notar que se descobriu recentemente que muitos vírus, p.ex. o vírus da herpes, têm a forma de icosaedro!

Aliás, a ligação entre a estrutura geométrica dos átomos e alguns sólidos já tinha sido referida pelo próprio Platão, por exemplo: o sal mineral, i.e. cloreto de sódio NaSl, aparece na forma de cristais cúbicos; floreto de cálcio CaF2 na forma de octaedro e a pirite, i.e. Disulfito de Ferro FeS2 na forma de dodecaedros. 

Os duais dos Sólidos de Arquimedes são designados por Sólidos de Catalan e a fórmula de Euler é válida para os poliedros convexos!

 

 

Nota 2

Uma vez que todos os poliedros convexos estão classificados é natural perguntar se haverá poliedros convexos que não sejam regulares?

Kepler, em 1619, descobriu dois poliedros que são simultaneamente regulares e não convexos: o pequeno dodecaedro estrelado e o grande dodecaedro estrelado.

Dois séculos mais tarde provar-se-ia que existem apenas nove poliedros regulares: os cinco sólidos platónicos e quatro poliedros regulares não convexos - os Poliedros de Kepler-Poinsot. 

Um Poliedro de Kepler-Poinsot é um poliedro regular não convexo. Todas as suas faces são polígonos regulares iguais. E em todos os vértices encontram-se o mesmo número de faces (comparar com Sólidos Platónicos).

Existem quatro Poliedros de Kepler-Poinsot:

Poliedro de Kepler-Poinsot

Imagem

(clique em cima de cada

imagem para fazer rotações)

Faces

Vértices

Arestas

Pequeno dodecaedro estrelado

         

12 Pentagramas regulares

12

30

Grande dodecaedro estrelado

         

12 Pentagramas regulares

20

30

Grande dodecaedro

         

12 Pentágonos regulares

12

30

Icosaedro estrelado

       

          

20 Triângulos equiláteros

12

30

 

Desafio 7: A formula de Euler não se verifica para dois deles --- Quais?

 

Assim temos apenas nove poliedros regulares, sendo cinco convexos (sólidos platónicos) e quatro não convexos (sólidos de Kepler-Poinsot).

 

Resumo:

(1) Existem exactamente 5 poliedros regulares convexos (os sólidos Platónicos)

(2)  Existem exactamente 4 poliedros semi-regulares e convexos (sólidos de Arquimedes)

(3)  Existem exactamente 13 poliedros regulares não convexos (sólidos de Kepler--Poinsot)

 

 

4 Simetrias

 

Na Matemática, o conceito de simetria é estudado através da noção de grupo. Podemos associar um grupo de simetrias GP a cada poliedro P, que é o conjunto de transformações (isometrias Euclidianas) que deixam o poliedro invariante. A ordem do grupo de simetrias é precisamente o número de simetrias do poliedro (rotações e reflexões).

 

Essas transformações fazem permutações entre os vértices do poliedro, mas como o número de permutações entre n objectos é precisamente n-factorial n!, podemos concluir que a ordem do grupo GP é no máximo n!. Note-se que por definição 1!=1, 2!=2.1=2, 3!=3.2.1=6, ..., n!=n.(n-1)(n-2).3.2.1.

 

Claro está que fixando duas destas transformações, a sua composição (ou produto) continua a ser uma transformação que deixa o sólido invariante!

 

                                

                                                       FIG 9: Tetraedro --- A permutação identidade

 

Em particular se considerarmos o poliedro P como sendo o tetraedro T, podemos concluir de imediato que a ordem do grupo de simetrias G_T de T é menor ou igual a 4!=24, uma vez que T tem exactamente 4 vértices.

Reciprocamente vamos formalmente enunciar e provar que de facto dada uma permutação entre 4 vértices, ela é pertence ao grupo de simetrias do tetraedro, da seguinte forma:

TEOREMA.

O grupo de simetrias do tetraedro é o grupo de todas as permutações dos seus 4 vértices.

 

DEMONSTRAÇÃO.

Começamos por numerar os vértices do tetraedro como na figura 9. Vamos denotar por O o centro do tetraedro, ver figura 9. Considerando na figura 9 o eixo de rotação [AO], que passa pelo vértice 1 e o centro O, obtemos 2 rotações não triviais, rodando o tetraedro sucessivamente em 360/3=120 graus. Como podemos repetir este argumento pelos todos os vértices, obtém-se assim 2×4=8 simetrias de rotação.

Considere-se o eixo [OB] que liga os pontos intermédios de arestas opostas, as arestas [23] e [14] na figura 9. Obtém-se uma nova simetria de rotação de T usando este eixo de rotação, como na figura 10: o vértice 1 permuta com o vértice 4 e o vértice 2 permuta com o vértice 3. Podemos usar mais dois eixos e portanto obtendo mais 3 simetrias de rotação.

 

Claro que temos sempre a rotação trivial onde todo fica fixo, e que será denotada por e.

 

                   

 

                              FIG 10: Tetraedro – a permutação (14)(23)

 

Conclusão: já provámos a existência de 12 simetrias (de rotação).

Em seguida consideramos plano (34) que esta a cinzento na figura 11.

                                                     

                                                           FIG 11: Tetraedro: Reflexão no Plano (34)

 

Encontramos uma nova simetria do tetraedro fixando os vértices 1, 2, mas permutando os restantes, i.e. 3 e 4. Esta simetria S não é de rotação mas sim de reflexão. Note-se que SS=e. Agora a composição de cada uma das 12 rotações com esta reflexão fornece-nos uma nova simetria (reflexão). Mais, todas elas são de facto diferentes, uma vez que se existissem duas reflexões iguais provenientes de duas rotações R1 e R2 , tais que

 

R1S= R2S

 

então compondo à direita com S, obtinha-mos

R1SS= R2SS

 

pelo que como SS=e é a simetria trivial, conclui-se que R1 = R2. Ora esta conclusão é contraditória com o pressuposto de que as rotações são diferentes. Portanto, temos 12 simetrias de rotação e 12 simetrias de reflexão do tetraedro, como o grupo de simetrias tem no máximo 24 elementos, conclui-se que de facto esta é a lista completa das simetrias do tetraedro.

FIM DA DEMONSTRAÇÃO.

Desafio (para casa): Determine os grupos de simetrias dos restantes Sólidos Platónico. Verifique que os grupos de simetrias de um dado sólido e do seu dual coincidem!

 

Como acabamos de verificar, os Sólidos Platónico contêm muitas simetrias. Como dito em cima, o estudo das simetrias dos poliedros são parte da teoria matemática dos grupos. No entanto, fazemos notar que na matemática e física teórica modernas existem várias generalizações do conceito de teoria de grupos, englobando as chamadas simetrias quânticas. Em muitas situações os fenómenos físicos ficam descritos só quando se recorre a estas novas simetrias, que poderão não ser descritas por grupos! A título de curiosidade poderá encontrar (ver figura 12) aqui esse fenómeno num Octacubo, figura 12, ver Ref. [7].

                                    

 

FIG 12: Simetrias Quânticas

 

 

 

 

 

                                          

5 Bibliografia

[1] Aníbal J. Almeida, “Correspondência Privada.” Escola Secundária de S. Pedro do Sul.

[2] Atiyah, M. and Sutcliffe, P. "Polyhedra in Physics, Chemistry and Geometry." Milan J. Math. 71, 33-58, 2003.

[3 Sítio da internet: Projecto Atractor.

[4] Coxeter, H. S. M. "Regular Polytopes", 3rd ed. New York: Dover, pp. 1-17, 93, and 107-112, 1973.

[5] Dorothy N. Marshall: "Carved Stone Balls," Proceedings of the Society of Antiquaries of Scotland 180, pp. 40-72, 1976/77.

 

[6] Euclid. Book XIII in "The Thirteen Books of the Elements", 2nd ed. unabridged, Vol. 3: Books X-XIII. New York: Dover, 1956.

 

[7] Evans, D.E, Kawahigashi, Y.:  “Quantum Symmetries on Operator Algebras”, Oxford University Press, 1998.

 

[8] Pappas, T. "The Five Platonic Solids. The Joy of Mathematics". San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, pp. 39 and 110-111, 1989.

 

[9] Paulo J. F. Oliveira Coelho: "The Euler-Descartes formula and the Platonic Solids", Externato Cooperativo da Benedita.

 

[10] P. Slodowy: “Platonic Solids, Kleinian Singularities, and Lie groups”. Algebraic geometry (Ann Arbor, Mich., 1981), 102--138, Lecture Notes in Math., 1008, Springer, Berlin, 1983.

 


[1] Estágio de iniciação científica para alunos dos 10º e 11º anos: 28 Junho -- 1  Julho 2006. Patrocínio: Centro de Análise Matemática, Geometria e Sistemas Dinâmicos.