Introdução à Teoria dos Números (1º período 2021-2022)
Licenciatura em Matemática Aplicada e Computação
Docente: Pedro Martins Rodrigues - pedro.martins.rodrigues@tecnico.ulisboa.pt
Informações
Anúncios publicados no Fenix
Avaliação
Programa
Bibliografia
Notas
de apoio e Fichas de Problemas
Horário de dúvidas
Pautas
Informações
23/12 - Esta página não terá mais actualizações. Os meus desejos a todos de
Boas Festas e Feliz Ano Novo. 23/12 - Pauta Foi publicada a Pauta com os resultados finais da avaliação contínua, exame e
Nota Final. Recorda-se que as notas finais superiores a 17 valores estão dependentes da realização
de uma prova oral que será combinada no reinício das aulas. 02/12 - Revisão de Provas (nova data e sala): A Revisão de Provas do exame vai realizar-se na próxima terça-feira, dia 07/12, às 14:00 horas, na sala V1.12. Fica aqui disponível uma
resolução do exame . 01/12 - Depois de falar com o delegado, ficou combinado mudar a revisão de provas para 07/12 à tarde. A sala será anunciada brevemente. 01/12 - Notas do Exame e Revisão de Provas: Foram publicados os resultados do Exame. A Revisão de provas terá lugar na próxima segunda-feira, 06/12, às 09:30, na sala de dúvidas do Departamento de Matemática. As notas dos diversos trabalhos de casa que completam a nota de Avaliação Contínua, serão publicadas brevemente, juntamente com uma actualização da pauta com as notas finais desta época de avaliação. 23/11 - Exame: O exame terá lugar nos anfiteatros PA1 e PA2. As alunas e alunos devem comparecer com
alguns minutos de antecedência e aguardar fora das salas. 22/11 - Amanhã, entre as 16:30 e as 17:30, as alunas e alunos que pretendam ver o seu mini-teste de recuperação poderão dirigir-se à sala de dúvidas do Departamento de Matemática. 19/11 - Foram publicados os resultados do Mini-Teste de recuperação. 18/11 - A Ficha complementar sobre números perfeitos tinha uma gralha no problema 8, que já foi corrigida. Obrigado pelas chamadas de atenção para este erro. Inscrição para Exame: Estão abertas, a partir das 10:00 de hoje, as inscrições
para o exame que terá lugar na próxima terça-feira, às 18:00.
A inscrição é obrigatória e deve ser feita até às 13:00 da próxima
segunda-feira, dia 22/11. 12/11 - Avaliação Contínua: a recuperação do Mini-Teste vai decorrer na próxima quinta-feira,
dia 18/11, na sala P12: Mini-Teste 1 ou 2 - 10:30; Mini-Teste 3 - 11:00. A prova de substituição dos Mini-Testes para alunas e alunos de outros anos, trabalhadores-estudantes, etc, que
não realizaram os Mini-Testes, decorrerá na próxima quinta-feira, dia 18/11, das 13:30 às 14:50,
na sala 4.35. Recorda-se que esta prova não substitui os trabalhos de casa mas apenas os mini-testes. As alunas e alunos que possam e
pretendam realizar esta prova devem inscrever-se no agrupamento Teste alternativo na página da disciplina da
plataforma Fenix até às 16:30 da próxima terça-feira, 16/11. 12/11 - Vão ter lugar na próxima semana duas aulas de revisões presenciais na sala
P12, mas que serão igualmente transmitidas por Zoom: dia 16/11, das 10:00 às 11:30, Meeting ID 886 3213 4472, dia 19/11, das 10:00 às 11:30, Meeting ID 8645781 5875. 11/11 - Foi publicada uma nova Ficha Complementar. 11/11 - Podem ser consultados neste ficheiro qual o mini-teste que
poderá ser recuperado na próxima quinta-feira. Cada aluna ou aluno que pretenda fazer esse Mini-Teste deve
inscrever-se na plataforma Fenix no agrupamento Mini-Teste Recuperação criado para esse efeito, a partir
das 10:00 de amanhã e até às 17:00 de dia 16/11. 10/11 - Foram publicados os resultados do terceiro Mini-Teste. 10/11 - Foram publicados os resultados do segundo Mini-Teste. 07/11 - Trabalho de casa: Esta Ficha de Trabalho é a segunda parte do trabalho de casa dos grupos. 07/11 - Foram publicadas as Notas 5. 02/11 - Foi publicada uma Ficha Complementar sobre o problema de Frobenius. 02/11 - Foram publicados os resultados do primeiro Mini-Teste. 01/11 - Avaliação con tínua alternativa: Conforme anunciado, as alunas e alunos impossibilitados de realizar os mini-testes nas aulas, e apenas estes, podem substituir essa parte da Avaliação con tínua por um mini-teste alargado, a realizar na semana de preparação de 15 a 19 deste mês. A data e hora proposta para essa prova é quinta-feira, dia 18/11, às 11:00 horas, em sala a designar. Agradeço que me informem de qualquer incompatibilidade relativamente a esta data. Aproveito para voltar a pedir a todas as alunas e alunos que podem e querem realizar esta prova que o confirmem por mensagem. Esclarecimento: Esta prova substitui apenas os mini-testes. Os trabalhos de casa devem ser entregues por todas as alunas e alunos, em grupo ou individualmente. 30/10 - Foram publicadas as Notas 4. 30/10 - Horário de dúvidas : Dada a realização do Teste na terça-feira, o horário de dúvidas de segunda-feira terá lugar, apesar de ser feriado. 30/10 - Trabalho de casa: Esta Ficha de Trabalho é a primeira parte do trabalho de casa dos grupos. 20/10 - Foram publicadas as Notas 3. Foi também publicada uma Ficha Complementar sobre Números perfeitos. 18/10 - Para facilitar (mas não substituir...) o estudo das Notas foram disponibilizados os slides usados nas aulas. 14/10 - Foi-me perguntado se poderíamos mudar a data do primeiro teste para dia 26/10. Essa possibilidade será discutida na aula de amanhã. 14/10 - Foi publicado o Horário de atendimento para esclarecimento de dúvidas. Poderemos marcar sessões suplementares, a pedido, quando for necessário. 09/10 Foram publicadas as Notas 1 e 2. A primeira parte da próxima aula será dedicada a problemas de indução; devem ser preparados para a aula alguns exercícios (à escolha) do ponto I.5 das Notas 1. A segunda parte da aula será sobre as Notas 2 que devem ser lidas até (pelo menos) à página 8. 07/10 Foram publicados o conjunto de Notas 0 e a Ficha 1. O primeiro refere-se a noções básicas sobre conjuntos, funções, em grande parte já conhecidas; aconselha-se, no entanto, a leitura pelo menos da parte sobre os conceitos de relação de ordem e de equivalência. A Ficha 1 pode e deve ser estudada como preparação da aula. 01/10 A primeira aula terá lugar no próximo dia 08/10. No início da semana será publicado um primeiro conjunto de Notas de apoio e problemas.
Números naturais e o princípio de indução finita. Números inteiros e o lema da divisão. Divisibilidade e máximo divisor comum. Algoritmo de Euclides. Números primos e o teorema fundamental da aritmética. Exemplos de tópicos e problemas da teoria dos números. Congruências. A equação linear numa variável. Teorema chinês dos restos. Potências em aritmética modular e o teorema de Fermat–Euler. Função de Euler. Raízes em aritmética modular e aplicações. Equações polinomiais com módulo primo. Raízes primitivas e aplicações: o Critério de Euler. A lei da reciprocidade quadrática. Equações com módulo p^k e o lema de Hensel. Funções aritméticas.
Ao
longo do semestre, serão disponibilizadas nesta página
fichas de apontamentos como material de apoio ao estudo. Estas fichas
não substituem a consulta das referências bibliográficas
indicadas.
Durante as aulas serão
dadas, à medida que elas se revelem úteis, informações
e explicações sobre algumas referências bibliográficas, que permitam aos
interessados uma pesquisa mais variada sobre os temas do curso. A lista seguinte é apenas informativa e não se
pretende ou sugere uma consulta generalizada.
Niven, I., Zuckerman, H.S., Montgomery, H.L., An Introduction to the Theory of Numbers, John Wiley & Sons, Inc., 1991.
Hardy, G.H., Wright, E.M., (Heath-Brown, D.R., Silverman, J.H., rev.), An Introduction to the Theory of Numbers, (6th ed.) Oxford University Press, 2008.
Silverman, J.H., A Friendly Introduction to Number Theory, Pearson International Edition, 2005.
Bressoud, D., Wagon, S., A Course in Computational Number Theory, Key College Publishing, 2000.
Weissman, Martin H., An Illustrated Theory of Numbers, American Mathematical Society, 2017.
Graham, R., Knuth, D., Patashnik, O., Concrete Mathematics, Addison-Wesley, 1994.
Notas
de apoio e Fichas de Problemas
.
Notas e Problemas 0 - Conjuntos, Funções e Relações. Slides
Notas e Problemas 1 - Números Naturais; o Princípio de Indução Finita. Slides
Notas e Problemas 2 - Aritmética dos Inteiros. Slides
Ficha Complementar: Números perfeitos.
Notas e Problemas 4 - Aritmética Modular: Potê.ncias e raízes. Aplicações.
Ficha Complementar: O problema de Frobenius.
Ficha Complementar: O Lema de Hensel e aplicações .
A avaliação de conhecimentos nesta cadeira será
por avaliação contínua nas aulas práticas,
complementada com Exame Final.
O resultado da avaliação
contínua (AC) consiste na soma das classificações
de três mini-testes, com a cotação de 5 valores cada,
com uma nota entre 0 e 5 valores que corresponde à avaliação
global da participação na cadeira (participação
na resolução de problemas nas aulas, trabalhos de casa,
pequenos projectos).
Para as alunas e alunos impossibilitados de participar na avaliação o contínua (trabalhadores-estudantes e alunos a frequentar cadeiras de outros anos e com incompatibilidades de horário) \emph{e apenas para estes} haverá uma prova de substituição, a realizar na semana de 15/11-19/11. As alunas e alunos nestas condições devem informar-me antecipadamente.
As alunas e alunos devem organizar-se em
grupos de trabalho de 5
elementos, para a realização de trabalhos de casa,
projectos e preparação das aulas de problemas.
Aconselha-se que estes grupos de trabalho coincidam com os formados
para outras Unidades Curriculares, como Matemática
Experimental e Elementos de Programação.
O exame tem a duração de duas horas e terá lugar no dia 23/11.
A classificação final é
dada pela fórmula = 0.5xAC+0.5E.
Às
alunas e alunos com nota final superior a 17 valores será
proposta a realização de uma prova oral que determinará
uma nota final igual ou superior a 17 valores. Caso não se
apresentem a essa prova oral, a nota final ficará fixada em 17
valores.
Horário
de dúvidas
Segunda-feira, 10:00-11:30, sessão Zoom https://videoconf-colibri.zoom.us/j/82075288270
Terça-feira, 14:00-15:00, sessaão presencial, na sala de dúvidas do DM.