Interpretação geométrica do sinal da terceira derivada
I.
1. O sinal da primeira derivada de f em a está relacionado com o comportamento relativo,
numa vizinhança de a,
dos gráficos de f e do seu polinómio de Taylor de grau zero em a.
O gráfico do polinómio de Taylor de grau zero de f em a é a recta y=f(a).
2. O sinal da segunda derivada de f em a está relacionado com o comportamento relativo,
numa vizinhança de a,
dos gráficos de f e do seu polinómio de Taylor de grau um em a.
O gráfico do polinómio de Taylor de grau um de f em a é a recta tangente ao gráfico de f
em a.
3. O sinal da terceira derivada de f em a está relacionado com o comportamento relativo,
numa vizinhança de a,
dos gráficos de f e do seu polinómio de Taylor de grau dois em a.
II.
Vejamos um exemplo:
A azul: gráfico dos polinómios de Taylor de segundo grau da função
nos pontos -1, 1 e 3
1. No ponto -1 a terceira derivada da função é negativa: O gráfico da função cruza o
gráfico da parábola, estando estritamente por cima deste para x<-1 e próximo de -1 e estritamente por baixo
deste para x>-1 e próximo de -1.
2. No ponto
3 a terceira derivada da função é positiva:
O gráfico da função cruza o
gráfico da parábola, estando estritamente por baixo deste para x<3 e próximo de 3 e
estritamente por cima deste para x>3 e próximo de 3.
3. No ponto
1 a terceira derivada da função é nula:
Neste caso o gráfico da função encontra-se por cima do gráfico da parábola. No entanto,
não podemos estabelecer uma proposição geral descrevendo o comportamento relativo do gráfico
do polinómio de Taylor de segundo grau da função e do gráfico da função num ponto
em que a sua terceira derivada se anule.
III.
1. Se a terceira
derivada de f é negativa no ponto a, então o gráfico de f cruza o gráfico do polinómio de Taylor
de grau 2 de f no ponto a, estando
estritamente por cima deste para x<a e próximo de a e estritamente por baixo deste
para x>a e próximo de a.
2. Se a terceira
derivada de f é positiva no ponto a, então o gráfico de f cruza o gráfico do polinómio de Taylor
de grau 2 de f no ponto a, estando
estritamente por baixo deste para x<a e próximo de a e estritamente por cima deste
para x>a e próximo de a.
3. Se a terceira derivada de f é nula no ponto a, não podemos estabelecer uma proposição geral
descrevendo o comportamento relativo do gráfico do polinómio de Taylor
de grau 2 de f no ponto a
e do gráfico de f.
IV.
A situação é semelhante à da interpretação geométrica do sinal da primeira derivada:
1. Se a primeira
derivada de f é negativa no ponto a, então o gráfico de f cruza o gráfico da
recta y=f(a) no ponto a, estando
estritamente por cima desta recta para x<a e próximo de a e estritamente por baixo desta recta
para x>a e próximo de a.
2. Se a primeira
derivada de f é positiva no ponto a, então o gráfico de f cruza o gráfico da
recta y=f(a) no ponto a, estando
estritamente por baixo desta recta para x<a e próximo de a e estritamente por cima desta recta
para x>a e próximo de a.
3. Se a primeira derivada de f é nula no ponto a, não podemos estabelecer uma proposição geral
descrevendo o comportamento relativo do gráfico de y=f(a)
e do gráfico de f.
V.
As afirmações anteriores podem ser todas provadas recorrendo às fórmulas de Taylor com resto de Peano, como feito
na aula.
VI.
Exercício: Dê uma interpretação geométrica do sinal da quarta derivada. A conclusão deve ser semelhante à
interpretação geométrica do sinal da segunda derivada.