Polinómios de Mac-Laurin para a função seno

A encarnado: gráfico da função seno.
A azul: gráfico do polinómio de Mac-Laurin de grau n da função seno. Indicam-se os valores de n no primeiro quadrante

Observações relacionadas com a interpretação geométrica do sinal das derivadas:

1. A primeira derivada do seno é positiva no ponto zero. Logo, perto de zero e à esquerda de zero o gráfico da função seno está estritamente por baixo do gráfico do seu polinómio de Mac-Laurin de grau 0; perto de zero e à direita de zero o gráfico da função seno está estritamente por cima do gráfico do seu polinómio de Mac-Laurin de grau 0. O polinómio de Mac-Laurin de grau 0 da função seno é zero.

2. A segunda derivada do seno é nula no ponto zero. Logo, para concluir sobre a posição relativa dos gráficos da função seno e do seu polinómio de Mac-Laurin de grau 1 perto de zero deve analisar-se o sinal de derivadas de ordem superior a 2 em zero (ver ponto seguinte).

Por outro lado, observando o gráfico, à esquerda de zero o gráfico da função seno está estritamente por cima do gráfico do seu polinómio de Mac-Laurin de grau 1 e à direita de zero o gráfico da função seno está estritamente por baixo do gráfico do seu polinómio de Mac-Laurin de grau 1. Logo a segunda derivada da função seno em zero tem que ser nula. Ou seja, como o gráfico da função seno tem um ponto de inflexão em zero a segunda derivada da função seno em zero tem que ser nula.

3. A terceira derivada do seno é negativa no ponto zero. Logo, perto de zero e à esquerda de zero o gráfico da função seno está estritamente por cima do gráfico do seu polinómio de Mac-Laurin de grau 2; perto de zero e à direita de zero o gráfico da função seno está estritamente por baixo do gráfico do seu polinómio de Mac-Laurin de grau 2. O polinómio de Mac-Laurin de grau 2 da função seno coincide com o polinómio de Mac-Laurin de grau 1.

4. A quinta derivada do seno é positiva no ponto zero. Logo, perto de zero e à esquerda de zero o gráfico da função seno está estritamente por baixo do gráfico do seu polinómio de Mac-Laurin de grau 4; perto de zero e à direita de zero o gráfico da função seno está estritamente por cima do gráfico do seu polinómio de Mac-Laurin de grau 4. O polinómio de Mac-Laurin de grau 4 da função seno coincide com o polinómio de Mac-Laurin de grau 3.

5. As afirmações acima podem ser justificadas pela interpretação geométrica do sinal das derivadas, dada num outro exemplo, ou então, em alternativa, olhando para o sinal dos restos da série da função seno.

6. Podemos reforçar a observação feita no ponto 3. Em R^- o gráfico da função seno está estritamente por cima do gráfico do seu polinómio, P₁, de Mac-Laurin de grau 1; em R⁺ o gráfico da função seno está estritamente por baixo do gráfico do seu polinómio de Mac-Laurin de grau 1: sin x -P₁(x)<0 em R⁺.

7. Podemos reforçar a observação feita no ponto 4. Em R^- o gráfico da função seno está estritamente por baixo do gráfico do seu polinómio de Mac-Laurin de grau 3; em R⁺ o gráfico da função seno está estritamente por cima do gráfico do seu polinómio, P₃, de Mac-Laurin de grau 3. De facto, (sin x -P₃(x))''=-sin x +P₁(x)>0 em R⁺. Logo, a diferença sin x -P₃(x) é convexa em R⁺. Como esta diferença é nula em 0, ela é positiva em R⁺.

8. Por indução, podemos generalizar as observações feitas nos pontos 6. e 7. Seja k natural. Em R^- o gráfico da função seno está estritamente por cima do gráfico do seu polinómio de Mac-Laurin de grau 4k+1; em R⁺ o gráfico da função seno está estritamente por baixo do gráfico do seu polinómio de Mac-Laurin de grau 4k+1. Em R^- o gráfico da função seno está estritamente por baixo do gráfico do seu polinómio de Mac-Laurin de grau 4k+3; em R⁺ o gráfico da função seno está estritamente por baixo do gráfico do seu polinómio de Mac-Laurin de grau 4k+3.
Nota: o argumento funciona porque, para n natural e para a função seno, (P_n+2 )''= - P_n , onde P_n designa o polinómio de Mac-Laurin de grau n da função.