Responsável: Joana Ventura

Horário de dúvidas: 3ªf das 13h00 às 15h00, no meu gabinete (no piso 3 do pavilhão de matemática). Os alunos podem também contactarem-me para esclarecimento de dúvidas fora deste horário.

• Programa
• Bibliografia
• Avaliação
• Notas das aulas
• Listas de Exercícios
• Pauta
• Testes e Exames
• Sumários
• Horário das aulas

AVISOS

• (5/2/14) As notas finais já foram lançadas na secretaria.


• (31/1/14) As notas dos testes de recuperação estão afixadas aqui. A revisão de provas é dia 4 de Fevereiro (3ªf) às 13h00, no meu gabinete.
• (29/1/14) O exame/teste de recuperação realiza-se no dia 30 de Janeiro, sala P1, a começar às 15h00, tal como afixado no fénix. O teste tem a duração de 1 hora e meia, o exame tem a duração de 3 horas.
• (13/1/14) As notas do Teste 2 estão afixadas aqui. A revisão de provas é dia 16 de Janeiro (5ªf) às 13h00, no meu gabinete. A resolução do teste 2 está afixada aqui.
• (3/1/14) O 2º teste realiza-se no dia 9 de Janeiro, sala P8, a começar às 15h00, tal como afixado no fénix.
  Os últimos TPC já estão corrigidos, os alunos podem vir buscá-los ao meu gabinete.
  Relembro que as aulas de dúvidas continuam em funcionamento durante a época de exames.
• (30/12/13) Nova versão da notas da 26ª aula -- foi corrigido o Passo 3 na página 167. Obtém-se (T-lambda)^M=0 apenas se lambda for o único valor próprio de T, como no Exemplo 4.10.8.
• (23/12/13) Nova versão da Lista 11 -- foi corrigido o enunciado da pergunta 1, matrizes B e C.
• (19/12/13) Já está afixada uma última lista de problemas e as notas das aulas da última semana. Não há TPC 11 para entregar, mas aconselha-se os alunos a resolver os exercícios propostos, assim como os exercícios das restantes listas que não entregaram como TPC.
• (12/12/13) Já corrigi os TPC 8, que entregarei na próxima aula, mas os alunos interessados poderão vir buscar o seu TPC corrigido ao meu gabinete hoje ou amanhã.
• (10/12/13) O décimo TPC está afixado aqui e as notas das aulas também já foram actualizadas.
• (6/12/13) Já está disponível a resolução do Teste 1.
• (5/12/13) As notas do Teste 1 estão afixadas aqui. A revisão de provas é dia 9 de Dezembro (2ªf) a seguir à aula, ou 10 de Dezembro durante o horário de dúvidas, no meu gabinete. A resolução do teste será afixada brevemente aqui.
• (3/12/13) O nono TPC está afixado aqui e as notas das aulas também já foram actualizadas com a matéria sobre produtos tensoriais.
• (27/11/13) O oitavo TPC está afixado aqui.
  Atenção: numa primeira versão da lista 8, afixada hoje antes da aula, aparecia o exercício IV.3.1. Uma vez que o resultado para módulos injectivos foi enunciado na aula de hoje (embora não demonstrado), e que é válido usar nos TPC qualquer resultado das notas ou das aulas, esse exercício foi retirado da lista.
  Consequência: para resolver o exercício IV.3.3 não vale recorrer ao dito exercício IV.3.1 e, única excepção na regra de "o que se pode usar sem demonstrar nos TPC", também não vale usar o dual do Teorema 4.4.11 (i) sse (ii) para módulos injectivos, a não ser que inclua a demonstração na sua resolução. Ou seja, no exercício IV.3.3, em vez de usar os resultados gerais, considere apenas o caso dos anéis de divisão, que é muito mais fácil.
• (6/11/13) O sétimo TPC está afixado aqui e as notas das aulas também já foram actualizadas.
• (13/11/13) Como ficou combinada na aula teórica de hoje, a aula de discussão de problemas/revisões é dia 15 de Novembro, 6ªf, das 16h30 às 18h00 na sala Q4.7 (na torre de química).


• (13/11/13) Os alunos podem encontar testes e exames da cadeira de anos anteriores nesta página do MMA, seguindo os links para cada semestre. No entanto, notem que por vezes a matéria não foi dada pela mesma ordem deste semestre, de modo que as perguntas sobre grupos e anéis (e algumas sobre categorias que não envolvem módulos) podem aparecer no segundo teste.
  
  O tipo de perguntas para os testes/exame deste semestre será análogo ao dos problemas das listas de exercícios, dos exemplos feitos (ou exercícios passados) nas aulas e nas notas.


• (11/11/13) O 1º teste realiza-se no dia 18 de Novembro, durante a aula teórica na sala V1.07 a começar às 14h00. O teste tem a duração de 1h30m e a matéria é a dos capítulos 1 a 3 das notas.
• (6/11/13) O sexto TPC está afixado aqui e as notas até à aula 16 estão aqui. Atendendo à "época de testes", o prazo de entrega do TPC 5 foi prolongado por uma semana, ou seja, a data de entrega dos TPC 5 e 6 é dia 13 de Novembro.
• (30/10/13) O quinto TPC está afixado aqui e as notas até à aula 14 estão aqui.
• (23/10/13) Já corrigi os TPC 2, que entregarei na próxima aula (2ªf dia 28/10), mas os alunos interessados poderão vir buscar o seu TPC corrigido ao meu gabinete amanhã ou depois de amanhã.
• (23/10/13) O quarto TPC está afixado aqui e as notas das aulas 11 e 12 estão aqui.
• (16/10/13) O terceiro TPC está afixado aqui -- atenção: são apenas cinco exercícios para entregar na próxima semana. As notas das aulas desta semana também já estão afixadas aqui.
• (11/10/13) Notas das aulas: Já estão disponíveis aqui as notas até à 8ª aula.
• (2/10/13) O segundo TPC está afixado aqui.
• (26/9/2013) ALTERAÇÃO DE HORÁRIO: A pedidos dos alunos, a aula de 4ªf passou a ser das 13h00 às 15h00 na sala V0.03. O horário no fénix já foi actualizado.
• (23/9/13) Notas das aulas: Irão ser afixadas, ao longo do semestre, notas da cadeira do prof. Pedro Ferreira dos Santos. As primeiras 3 aulas estão aqui.
• (19/9/13) Correcção ao TPC 1: A data de entrega do TPC 1 é 2 de Outubro (2ª aula da 3ª semana) e não 25 de Setembro como inicialmente afixado. A lista de exercícios mantém-se.
• (16/9/13) O primeiro TPC está afixado aqui.
• (10/9/13) Início das aulas: A primeira aula é no dia 16 de Setembro às 14h00, na sala V1.07.

Programa

1. Teoria elementar de grupos: subgrupos, subgrupos normais; isomorfismos. Grupos quociente, isomorfismos canónicos. Acções de grupos; teoremas de Sylow.

2. Teoria elementar de anéis: subanéis, ideais e anéis quociente. Anéis de polinómios, fracções, domínios de factorização única, domínios de ideais principais, domínios euclidianos.

3. Teoria elementar de módulos: módulos finitamente gerados e módulos livres. Produto tensorial. Sucessões exactas, Hom e dualidade. Módulos sobre domínios integrais e sobre domínios de ideais principais. Aplicações: classificação de grupos abelianos finitamente gerados, forma canónica de Jordan.

Bibliografia

• Algebra, Graduate texts in mathematics , T.W. Hungerford, 1980, Springer-Verlag, vol. 73
• Introdução à álgebra, R.L. Fernandes e Manuel Ricou, 2004, IST Press

Avaliação

Dois testes, com duração de 1 hora e meia cada, ou exame final, com duração de 3 horas. Na data de exame, os alunos podem optar por melhorar qualquer um dos testes. Caso o aluno realize o exame, a sua nota da prova escrita é a melhor nota entre a média dos testes e o exame. As notas dos testes não são arredondadas, a média dos testes e a nota do exame são números inteiros entre 0 e 20.
Haverá também trabalhos de casa marcados ao longo do semestre, com um peso de 20% apenas para melhorar a nota da prova escrita.

Datas das provas escritas
1º Teste: 18 de Novembro de 2013
2º Teste: 9 de Janeiro de 2014
Exame: 30 de Janeiro de 2014

Notas do prof. Pedro F. Santos (com exemplos e observações adicionais que vão sendo discutidos nas aulas deste semestre)

Notas de todas as aulas

Listas de Exercícios

Os seguintes exercícios são do livro Algebra de T.W. Hungerford mencionado na bibliografia.

• Lista 1
  Secção I.1: 8, 10, 13, 14;
  Secção I.2: 2, 3, 8, 16;
  Secção I.3: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10;
  Secção I.4: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14;
  Secção I.5: 1, 2, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 21.

  TPC 1 para entregar na aula do dia 2 de Outubro (2ª aula da 3ª semana): dez exercícios da lista 1, com pelo menos um exercício resolvido de cada secção.

• Lista 2
  Secção I.6: 2, 3, 5, 10;
  Secção II.4: 2, 3, 5, 8, 9, 10, 13, 14;
  Secção II.5: 1, 2, 3, 5, 9, 13;
  Secção II.7: 2, 6, 7, 9;
  Secção II.8: 2, 5, 7, 9.

  TPC 2 para entregar na aula do dia 16 de Outubro: dez exercícios da lista 2, com pelo menos um exercício resolvido de cada secção.

• Lista 3
  Secção III.1: 5, 9, 11, 12, 14;
  Secção III.2: 1, 2, 7(a), 8, 9, 13, 16, 17, 21, 22(a).

  TPC 3 para entregar na aula do dia 23 de Outubro: cinco exercícios da lista 3, com pelo menos um exercício resolvido de cada secção.

• Lista 4
  Secção III.3: 3, 6, 7, 9, 12 e exercício extra 1;
  Secção III.4: 1, 4 e exercício extra 2.
  Atenção:
  No exercício III.4.1 "complete ring of quotients" quer dizer S^-1A onde S é o conjunto dos elementos não nulos de A que não são divisores de zero.
  No exercício III.4.4, considere S={1,2,4}.

  TPC 4 para entregar na aula do dia 30 de Outubro: cinco exercícios da lista 4, com pelo menos um exercício resolvido de cada secção.

• Lista 5
  Secção III.4: exercício extra, 6, 11, 12, 13 e 16;
  Secção III.5: 2, 5, 6, 7, 8, 10.

  TPC 5 para entregar na aula do dia 6 de Novembro: cinco exercícios da lista 5, com pelo menos um exercício resolvido de cada secção.

• Lista 6
  Secção III.6: 1, 7, 10, 14, 15;
  Secção I.7: 1, 2, 5, 6.

  TPC 6 para entregar na aula do dia 13 de Novembro: cinco exercícios da lista 6, com pelo menos um exercício resolvido de cada secção.

• Lista 7
  Secção IV.1: 2, 4, 5, 7, 9, 12, 13.

  TPC 7 para entregar na aula do dia 27 de Novembro: cinco exercícios da lista 7.

• Lista 8
  Secção IV.2: 4, 5, 6, 10, 13, 14;
  Secção IV.3: 3, 4, 5, 8 e dois exercícios extra.
  Atenção:
  Exercício IV.3.8: Um grupo abeliano G é livre de torção ("torsion free") se o subgrupo Torc(G):={g | ord(g) é finita} [ver Exercício I.3.9] é o grupo trivial {0}, ou seja, G é livre de torção se todos os elementos não nulos têm ordem infinita.
  
  Exercício extra 2: Não é preciso entregar uma demonstração das afirmações feitas nas obervações da segunda página.

  TPC 8 para entregar na aula do dia 4 de Dezembro: cinco exercícios da lista 8, com pelo menos um exercício resolvido de cada secção.

• Lista 9
  Secção IV.5: 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9.
  Atenção:
  Em todos os exercícios desta lista: mesmo não sendo dito no enunciado, assumir sempre que o anel R é comutativo e que os módulos são módulos à esquerda. Portanto, os produtos tensoriais são módulos-R (e não apenas grupos abelianos) e as afirmações que se pedem para mostrar referem-se sempre a módulos-R (e não apenas a grupos abelianos).
  
  Exercício IV.5.3: G é um grupo abeliano de torção ("torsion abelian group") se G=Torc(G), ou seja, se todos os elementos em G têm ordem finita. (Comprar com a nota ao Exercício IV.3.8 da Lista 8.)

  TPC 9 para entregar na aula do dia 11 de Dezembro: cinco exercícios da lista 9.

• Lista 10
  Secção IV.6: 1, 2, 3, 4, 5, 6 e dois exercícios extra;
  Secção II.2: 9, 12, 13, 14.

  TPC 10 para entregar na aula do dia 18 de Dezembro: cinco exercícios da lista 10, com pelo menos um exercício resolvido de cada secção.

• Lista 11
  Lista 11

  Não há TPC 11 para entregar.

Testes e Exames

• testes e exames da cadeira de anos anteriores nesta página do MMA, seguindo os links para cada semestre.
• Teste 1: enunciado, resolução (versão corrigida).
• Teste 2: enunciado, resolução.
• Exame