An�lise Matem�tica I, 2005/2006 (1� semestre)
Eng. do Ambiente, Eng. Biol�gica

Avisos e novidades

Introdu��o
Texto base
Planeamento e Sum�rios
Corpo Docente
Hor�rios
Avalia��o de conhecimentos
Enunciados de exames
Lista de problemas

Aplicabilidade

Esta p�gina refere-se exclusivamente a An�lise Matem�tica I de Eng. do Ambiente e Eng. Biol�gica no 1� semestre de 2005/2006. N�o � aplic�vel a outras licenciaturas ou anos lectivos. Para localizar outras p�ginas de An�lise Matem�tica I use http://www.math.ist.utl.pt/cursos.phtml?AMI.

Requisitos t�cnicos desta p�gina

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Introdu��o

Um curso como este � destinado a guiar os alunos no seu processo de aprendizagem de uma introdu��o � An�lise Matem�tica. Esta p�gina n�o pretende ensinar Matem�tica mas t�o somente disponibilizar informa��o de uma forma eficiente.

N�o � miss�o dos docentes apresentar a mat�ria como algo completo e de apreens�o autom�tica no final das aulas mas sim acentuar o que � importante, suscitar quest�es e balizar o inevit�vel trabalho posterior que necessariamente deve ser realizado de uma forma regular.

O que � a Matem�tica?

A Matem�tica � a ci�ncia dedutiva que evoluiu a partir de conceitos abstractos t�o antigos como n�mero ou recta e cujos m�todos incluem a l�gica e a abstrac��o. As teorias matem�ticas da actualidade organizam-se partindo de conceitos primitivos e axiomas atrav�s de defini��es adicionais e resultados (teoremas, lemas, proposi��es) que s�o consequ�ncias l�gicas da teoria previamente estabelecida. Todo este processo � din�mico e encontra-se com diferentes graus de maturidade consoante o assunto e o seu desenvolvimento hist�rico. Explicar o que s�o teorias ou resultados interessantes � algo extremamente dif�cil sem o conhecimento pr�vio de uma certa �rea. Quest�es n�o resolvidas consideradas interessantes s�o muitas vezes descritas como problemas � cerca dos quais se fazem conjecturas e s�o objecto de tentativas de demonstra��o ou obten��o de contra-exemplos. Todas estas caracter�sticas abstractas coexistem com um important�ssimo historial de influ�ncias nos dois sentidos entre a Matem�tica e as suas aplica��es.

O que � a An�lise Matem�tica?

O que se designa hoje em dia por An�lise Matem�tica nasce do desenvolvimento do C�lculo Infinitesimal criado por Newton e Leibniz. Lida com problemas de "passagem ao limite" em v�rios contextos nomeadamente com os conceitos de derivada e integral.

Objectivos

O objectivo essencial desta disciplina do ponto de vista do Professor respons�vel � dar a oportunidade aos alunos de encararem os fundamentos do C�lculo Infinitesimal de um ponto de vista coerente e n�o como um amontoado de receitas. Pressupondo pr�-requisitos de l�gica e compreens�o do m�todo dedutivo da matem�tica, estes fundamentos incluem a axiom�tica dos reais, sucess�es, s�ries, continuidade e limites e uma parte substancial do c�lculo diferencial no quadro das fun��es reais de vari�vel real.

[Outras inst�ncias da escola apresentam como objectivos desta disciplina algo que ao sabor da moda ou opini�es individuais poder� parecer distinto do par�grafo anterior. Caber� ao leitor decidir no final do curso qual a melhor descri��o de objectivos.]

Textos

Ser� seguido como texto base do curso Introdu��o � An�lise Matem�tica de Jaime Campos Ferreira, edi��o da Funda��o Calouste Gulbenkian. Existem muitos outros textos sobre esta mat�ria a um n�vel acess�vel aos alunos do 1� ano mas com perspectivas e estilos distintos. A bibliografia do programa gen�rico oficial da disciplina indica alguns. Outros:

Consulte estes e outros t�tulos na Biblioteca do IST.

Um curso como este pressup�e um trabalho cont�nuo de compreens�o da mat�ria leccionada nas aulas te�ricas e que tem como suporte formal o texto base. Al�m disso a aprendizagem de Matem�tica passa pela resolu��o de exerc�cios n�o necessariamente triviais ou repetitivos. Uma colec��o de Problemas de Exame est� dispon�vel com o t�tulo Exerc�cios de An�lise Matem�tica I/II. Este texto juntamente com o texto base servir� como base para listas de problemas semanais.

A familiaridade dos alunos com algum formalismo matem�tico relativo a l�gica e teoria dos conjuntos � um dos requisitos deste curso que infelizmente n�o pode ser considerado como coberto pelos actuais programas do ensino secund�rio. O texto Elementos de L�gica Matem�tica e Teoria dos Conjuntos de Jaime Campos Ferreira � uma refer�ncia para este t�pico (vers�o para consultar on-line, vers�o para imprimir). Outros textos de apoio alternativos disponibilizados electronicamente s�o L�gica Matem�tica e Conjuntos pelo Grupo de Matem�tica da UTL.

Planeamento e sum�rios

Sum�rios em 2005/2006

Linhas com a data indicada a amarelo correspondem a planeamento. Linhas com a data indicada a verde correspondem ao que efectivamente foi leccionado. Linhas com a data indicada a vermelho correspondem a aulas canceladas.

  1. Apresenta��o. (26/9/2005).
  2. Os n�meros reais: axiomas de corpo. Algumas no��es de l�gica e teoria dos conjuntos. (28/9/2005).
  3. Os n�meros reais: algumas consequ�ncias dos axiomas de corpo e sua demonstra��o, os axiomas de ordem. (30/9/2005).
  4. Majorantes, minorantes, m�ximo, m�nimo, supremo, �nfimo. Axioma do supremo. (3/10/2005).
  5. Os n�meros naturais (N), inteiros (Z) e racionais (Q). Produto cartesiano e pares ordenados. Fun��es injectivas, sobrejectivas e bijectivas. Cardinalidade: conjuntos finitos, infinitos. N�o existe um racional cujo quadrado seja 2. Q tem a mesma cardinalidade de N. (7/10/2005).
  6. Cardinalidade: conjuntos numer�veis e cont�veis. [0,1] � n�o cont�vel. Outra caracteriza��o de supremo, propriedade arquimedeana, exist�ncia da raiz quadrada de 2. (10/10/2005).
  7. Exist�ncia da raiz quadrada de 2 (cont.). Outras consequ�ncias do axioma do supremo. Densidade dos racionais e irracionais nos reais. Pontos de acumula��o. O teorema de Bolzano-Weierstrass. (12/10/2005).
  8. Sucess�es. O conceito de limite. Exemplos. Converg�ncia das sucess�es mon�tonas limitadas. As sucess�es convergentes s�o limitadas. (14/10/2005).
  9. Rela��es de ordem e limites de sucess�es. Limites e opera��es alg�bricas. (17/10/2005).
  10. Exemplos de sucess�es e de c�lculo de limites. Limites infinitos. O limite de xn. A sucess�o da soma dos n primeiros termos duma progress�o geom�trica, sucess�es definidas por recorr�ncia, o limite da ra�z �ndice p de uma sucess�o convergente. (19/10/2005).
  11. A demonstra��o do teorema de Bolzano-Weierstrass. As sucess�es de termo geral (1+1/n)n e Σnk=0 1/k!. (21/10/2005).
  12. As sucess�es de termo geral (1+1/n)n e Σnk=0 1/k!. Sublimites. Limite m�ximo e limite m�nimo. (24/10/2005).
  13. Sublimites. Propriedades dos limites m�ximo e m�nimo. Sucess�es de Cauchy. Sucess�es de Cauchy s�o limitadas. O corol�rio do teorema de Bolzano-Weierstrass para sucess�es limitadas. (26/10/2005).
  14. As sucess�es de Cauchy s�o convergentes. O limite de c1/n. A rela��o entre os limites de an1/n e de an+1/an. (28/10/2005).
  15. S�ries. Converg�ncia de uma s�rie. Exemplos: a s�rie geom�trica, as s�ries de Mengoli. A condi��o necess�ria de converg�ncia. S�ries de termos n�o negativos e o crit�rio de compara��o. A converg�ncia de Σ 1/n2 e a diverg�ncia de Σ 1/n. (31/10/2005).
  16. S�ries: o crit�rio geral de compara��o e o seus corol�rios em particular os baseados em compara��o com s�ries geom�tricas. (2/11/2005).
  17. S�ries: converg�ncia absoluta, crit�rio de Leibniz, a converg�ncia de Σ 1/ns em fun��o de s. (4/11/2005).
  18. S�ries de pot�ncias, raio de converg�ncia, exemplos. (7/11/2005).
  19. Converg�ncia absoluta e associatividade e comutatividade dos termos de uma s�rie. Discuss�o informal do teorema de Riemann. Produto de s�ries e converg�ncia absoluta. (9/11/2005).
  20. Fun��es. Continuidade. A caracteriza��o de Heine de continuidade. Continuidade e opera��es alg�bricas, continuidade e composi��o de fun��es. (11/11/2005).
  21. O teorema do valor interm�dio. (14/11/2005).
  22. Limites. Aplica��o do teorema do valor interm�dio � determina��o do contradom�nio de fun��es cont�nuas. A fun��o exponencial e as fun��es trigonom�tricas. Continuidade das fun��es definidas por s�ries de pot�ncias. O contradom�nio da exponencial. (16/11/2005).
  23. O teorema de Weierstrass, aplica��es. (18/11/2005).
  24. Limites de fun��es mon�tonas num intervalo. Continuidade da inversa de uma fun��o mon�tona cont�nua. As fun��es log, arctg, arccos, arcsen. (21/11/2005).
  25. C�lculo diferencial. A no��o de derivada e de diferenciabilidade. Derivada da soma, do produto, do quociente e da composi��o de fun��es diferenci�veis. (23/11/2005).
  26. Exemplos de fun��es diferenci�veis e n�o diferenci�veis. Os teoremas de Rolle e Lagrange. A rela��o entre o sinal da derivada e monotonia. (25/11/2005).
  27. Derivada da fun��o inversa. Derivadas do log, arctg, arcsen, arccos. As fun��es hiperb�licas e as suas inversas. Derivadas de argsh e argch. (28/11/2005).
  28. O teorema de Cauchy. (30/11/2005).
  29. Aula cancelada devido a visita de estudo de Eng. do Ambiente. (2/12/2005).
  30. Aplica��o do teorema de Lagrange para obten��o de estimativas de diferen�as de valores de uma fun��o entre dois pontos: a diverg�ncia da s�rie Σ 1/(n log n). Primeira vers�o da regra de Cauchy, exemplos. (5/12/2005).
  31. Regra de Cauchy, exemplos. Estudo de gr�ficos de fun��es: ass�mptotas. (7/12/2005).
  32. Derivadas de ordem superior � primeira. Estudo de gr�ficos de fun��es: convexidade, exemplos. (9/12/2005).
  33. Estudo de gr�ficos de fun��es: exemplos. T�picos adicionais: deriva��o de fun��es definidas por s�ries de pot�ncias. (12/12/2005).

O programa m�nimo oficial desta disciplina dever� encontrar-se aqui. Faz-se notar que este programa � m�nimo.

Corpo docente

Jo�o Palhoto Matos
Respons�vel por Engenharia do Ambiente, Engenharia Biol�gica, turma te�rica 15101+15102+17101, aula pr�tica da turma 17102, 4� feira �s 15 h.
Fernando Machado
Aula pr�tica das turmas 15101 e 17101, 5� feira �s 16h.

Hor�rios de aulas e d�vidas

Haver� um hor�rio de d�vidas de 3 horas semanais distribu�do por 2 sess�es. Se no final de 20 minutos n�o estiverem presentes alunos a sess�o termina a�. A sala de d�vidas do Departamento de Matem�tica � a 1.12 do edif�cio de p�s-gradua��o. Os alunos podem consultar sess�es de d�vidas de AMI de outros cursos.

Vers�es dos hor�rios no sistema f�nix: Engenharia Biol�gica, Engenharia do Ambiente.

Os hor�rios de aulas e d�vidas est�o dispon�veis.

Calend�rio Escolar

Seguiremos integralmente o calend�rio escolar aprovado para a escola. Em particular as aulas te�ricas iniciam-se a 26 de Setembro de 2005 e as aulas pr�ticas na mesma semana.

Avalia��o de conhecimentos

A descri��o das regras de avalia��o de conhecimentos � feita num documento separado e � comum a outros cursos.

Arquivo de exames

O arquivo de exames cont�m enunciados de um exame modelo e exames de anos lectivos transactos do mesmo respons�vel. Para procurar arquivos similares de outros Professores use a seguinte liga��o.

Lista de problemas

Para 2005/2006

SemanaTextoProblemas
26 a 30 de SetembroElementos de L�gica Matem�tica e Teoria dos Conjuntos, uma vers�o revista pelo autor dos cap�tulos iniciais das antigas Li��es de An�lise Real1 – 2, 3, 5, 6, 8.
2.1– 5, 8, 9.
2.3 – 1, 2, 6.
3 a 7 de OutubroIntrodu��o � An�lise Matem�ticaI – 3, 7.
Exerc�cios de An�lise Matem�tica I/III – 1.1, 1.2, 1.4, [1.9], 1.11, 1.13, 1.16, 1.17, 1.18.
10 a 14 de OutubroIntrodu��o � An�lise Matem�ticaII – 1, 3, 4, 5(a-h), 5(j), 5(k).
Exerc�cios de An�lise Matem�tica I/III – [1.32], 1.33, [1.35].
17 a 21 de OutubroIntrodu��o � An�lise Matem�ticaII – 5(i), 5(l-r), 6, 8(a), 8(b), 10, 11.
Exerc�cios de An�lise Matem�tica I/III – [1.50], [1.51].
24 a 28 de OutubroIntrodu��o � An�lise Matem�ticaII – 12(b-d,f), 13, 14 (a-n).
Exerc�cios de An�lise Matem�tica I/IIII – 2.1, 2.2, 2.3, [2.4].
31 de Outubro a 4 de NovembroRevis�es
7 a 11 de NovembroIntrodu��o � An�lise Matem�ticaII – 15, 16(a-d), 17, 18, 19, 20.
Exerc�cios de An�lise Matem�tica I/IIII – [4], 7, 12, 13, 17, [20], 21, 22, 23.
14 a 18 de NovembroExerc�cios de An�lise Matem�tica I/IIII – 24, [26], 27, 30, [32], [33], 36, 43, 45, 50.
21 a 25 de NovembroIntrodu��o � An�lise Matem�ticaIII – 1, 2, 3.
28 de Novembro a 2 de DezembroIntrodu��o � An�lise Matem�ticaIII – 5, 7, 11, 14, 15, 17, 19 (substituir uniformemente cont�nua por cont�nua).
Material adicional sobre fun��es trigonom�tricas e hiperb�licas (p�gs. 11 e 12).
5 de Novembro a 9 de Dezembro Introdu��o � An�lise Matem�ticaIV – 1, 4, 7, 5, 6, 9.
12 a 16 de Dezembro (incluindo problemas nas aulas te�ricas, sugest�es de revis�o) Introdu��o � An�lise Matem�ticaIV – 10, 12, 19, 21.
Exerc�cios de An�lise Matem�tica I/IIIV – 1, 4, 7, 14, 20, 25, [27], 31, 38, 39, [56], [58], 80.

[x] indica uma recomenda��o de leitura da resolu��o do exerc�cio x no texto. x indica um desafio aos alunos mais motivados.

Tipicamente os exerc�cios indicados para uma semana ser�o objecto de estudo e resolu��o escrita nessa semana e discutidos na aula pr�tica da semana seguinte. A dura��o da aula pr�tica � insuficiente para resolver todos os exerc�cios.

�ltima actualiza��o: 2006/02/10 �s 17h 56m WET.

jmatos@math.ist.utl.pt