Cálculo de Variações
1º semestre - 1999/2000
Licenciatura em Matemática Aplicada e Computação
Mestrado em Matemática Aplicada

Objectivos

Uma introdução ao Cálculo de Variações com ênfase no chamado Método Directo. A nível introdutório decorreram aulas de exposição de parte do capítulo correspondente de Calculus of Variations, Evans, Partial Differential Equations. Tópicos mais avançados funcionaram em regime tutorial com exposições por parte dos dois alunos inscritos. Uma descrição não exaustiva do material coberto (não necessariamente por esta ordem dado os alunos irem expondo em paralelo tópicos distintos) pode ser:

1. Introdução ao método directo do Cáculo das Variações. O sistema de Euler-Lagrange, a primeira e a segunda variação. Lagrangeanos nulos. Condições suficientes para existência de minimizantes e conceitos associados: coercividade, semi-continuidade inferior, convexidade, policonvexidade,... Regularidade sob hipóteses de convexidade uniforme.
2. Quasi-convexidade e semicontinuidade inferior. Condições suficentes, condições necessárias e contra-exemplos: policonvexidade e convexidade de característica-1. Envólucros associados às várias "convexidades".
3. Aplicação do método directo à existência de superfícies mínimas. Funções de variação limitada (BV) e conjuntos de Caccioppoli. Semi continuidade inferior e aproximação por regularização em BV, compacidade. Comparação com soluções clássicas obtidas via princípio de máximo.
4. Medidas de Young e problemas variacionais. Não existência de minimizante. Exemplos. Classificação do comportamento das sucessões de gradientes aproximando o ínfimo via a medida de Young associada. Restrições ao suporte de uma medida de Young definida por uma sucessão de gradientes.

Comentários

Os textos de [Eva98], [Dac89], [Giu84] e [Ped97] referidos na Bibliografia serviram de textos base para cada um dos tópicos mencionados acima suplementados por estudo e exposição por parte dos alunos de artigos relativamente recentes relevantes. O objectivo do curso pode ser resumido em levar rapidamente os alunos a uma situação em que possam consultar com algum à vontade a literatura recente nesta área. Ao contrário de um curso de "tópicos" em que se aprofunda uma certa subárea pretendeu-se expor os alunos a um número razoável de sub-áreas o que de alguma forma implicou algum compromisso ao nível de detalhe. Dado o posicionamento da disciplina na licenciatura e no Mestrado creio ser este um compromisso aceitável.

Bibliografia básica

• [Dac89] Dacorogna, Bernardo. Direct methods in the calculus of variations. Springer, 1989.
• [Eva98] Evans, Lawrence. Partial Differential Equations. American Mathematical Society, 1998.
• [Giu84] Giusti, Enrico. Minimal surfaces and functions of bounded variation. Birkhäuser, 1984.
• [Ped97] Pedregal, Pablo. Parametrized measured and variational principles. Birkhauser, 1997.

A bibliografia anterior não pretende ser completa. O leitor é aconselhado a consultar as obras referidas para outras referências.