Análise
Matemática I
(1º
semestre, 2004/2005)
Eng. Civil, Eng.
do Território, Eng. e Arq. Naval
Avisos e novidades
- Esta página refere-se
exclusivamente a Análise Matemática I de Eng. Civil, Eng.
do Território, Eng. e Arq. Naval no 1º
semestre de 2004/2005. Não é
aplicável a outras licenciaturas ou anos lectivos.
- Notas
dos Primeiros Três Mini-Testes.
- O segundo exame é dia 20 de Janeiro às 9h e tem a
duração de 3 horas.
- A folha de inscrições para o segundo exame
encontra-se junto ao elevador do piso 2 do dep. de Matemática
até às 9h do dia 19 de Janeiro.
Maria
Amélia
Bastos (Professora
Responsável)
Helena
Mascarenhas
Miguel Almeida
Helena Mascarenhas:
4ª feira: 16-18h
6ª feira: 13:30-16h
Amélia Bastos:
2ª feira: 17-18:30h
6ª feira: 10-11h
A sala de dúvidas do Departamento de Matemática é
no piso -2 do edifício de
pós-graduação (sala 02.09).
Os alunos também podem
consultar sessões de dúvidas de AMI de outros cursos.
- Estrutura de corpo ordenado de R.
Princípio de
indução matemática. O axioma do supremo e suas
consequências. Densidade em R
dos conjuntos dos números
racionais e dos números irracionais. Conjuntos numeráveis
e não numeráveis.
- Sucessões. Sucessões limitadas e monótonas.
Sucessões convergentes. Regras operatórias. Teorema de
Bolzano-Weierstrass. Subssucessões. Sucessões de Cauchy.
Sucessões contractivas.
- Séries numéricas. Séries convergentes e
divergentes. Condição necessária de
convergência. Séries geométricas e de Mengoli.
Critério de Cauchy. Operações algébricas
com
séries. Critério geral de comparação de
séries de termos não negativos. Série de
Dirichlet.
Critério da razão. Critério de D'Alembert.
Critério da raiz. Séries absolutamente convergentes.
Séries alternadas. Critério de Leibnitz.
Majoração do erro da soma aproximada de uma série.
Séries de potências.
- Funções contínuas. Continuidade à
Cauchy e à Heine. Funções transcendentes
elementares. Continuidade de funções definidas por
séries de potências. Continuidade da função
composta. Noção de limite. Continuidade e limite. Limites
laterais. Funções contínuas em intervalos. Teorema
da limitação. Teorema de Weierstrass. Teorema de Bolzano.
Continuidade da função inversa.
- Definição de derivada. Regras operatórias da
derivação. Derivada da função composta.
Derivada da função inversa. Extremos relativos. Teorema
de
Rolle. Teorema de Lagrange. Teorema de Cauchy. Regra de Cauchy.
Derivada
de ordem superior à primeira. Formúla de Taylor. Teorema
de Taylor. Aplicação da formúla de Taylor na
análise de extremos, convexidades e pontos de inflexão.
Será seguido como texto base o seguinte livro:
- J. Campos Ferreira, Introdução
à
Análise Matemática, Fundação
Gulbenkian, 6ª ed.,
1995.
Outros livros indicados são:
- R.G. Bartle, D. Sherbert, Introduction
to Real Analysis,
John Wiley, 3rd ed, 2000.
- A. Browder, Mathematical
Analysis, An Introduction, Springer, 1996.
- J. Campos Ferreira, Elementos
de Lógica Matemática e
Teoria dos Conjuntos, Departamento de Matemática do IST,
2001.
- Departamento de Matemática do IST, Exercícios de
Análise Matemática I e II, IST Press, 2003.
- A. Ferreira dos Santos, Análise
Matemática I, AEIST,
1994.
Consulte estes e outros títulos na Biblioteca do IST.
Um curso como este pressupõe um trabalho contínuo de
compreensão da matéria leccionada nas aulas
teóricas e que tem como suporte formal o texto base. Além
disso a aprendizagem de Matemática passa pela
resolução de exercícios não necessariamente
triviais ou repetitivos. Uma colecção de Problemas de
Exame está disponível com o título Exercícios
de Análise Matemática I/II. Este texto
juntamente com o texto base servirá como base para listas de
problemas semanais.
A familiaridade dos alunos com algum formalismo matemático
relativo a lógica e teoria dos conjuntos é um dos
requisitos deste curso que infelizmente não pode ser considerado
como coberto pelos actuais programas do ensino secundário. O
texto Elementos de Lógica Matemática e Teoria dos
Conjuntos de Jaime Campos Ferreira é uma referência
para este tópico (versão
para consultar on-line, versão
para imprimir).
A avaliação de conhecimentos consiste num exame final e
numa
componente de avaliação contínua. A
avaliação contínua consiste em quatro mini-testes
a
realizar ao longo do semeste, contribuindo 30% para a
classificação final. A aprovação na
disciplina exige a classificação mínima de 7
valores no exame final.
Os alunos com classificação final
superior a dezassete valores poderão ser convocados para se
apresentar a provas orais. Os alunos que não obtenham
aprovação na primeira época de exames têm
direito a uma segunda época, à qual também se
podem
apresentar os alunos já aprovados na disciplina que tenham na
secretaria requerido melhoria de classsificação.
A inscrição para qualquer data de
exame é obrigatória de acordo com as
instruções que serão dadas nas aulas.
NOTA: Não se pode
usar qualquer tipo de calculadora nos mini-testes e no exame.
Testes
Aqui pode encontrar alguns enunciados de Mini-testes realizados durante
o semestre. Os ficheiros encontram-se em formato PDF (necessita de
Acrobat Reader ou equivalente).
- Primeiro Miniteste: A20/10, B20/10, A21/10,
B21/10, A22/10
- Segundo Miniteste: A9/11, B9/11, A10/11,
B10/11, A11/11,
B11/11
- Terceiro Miniteste: A30/11, B30/11, A2/12,
B2/12, C2/12,
D2/12
- Quarto Miniteste: A14/12, B14/12, A15/12,
B15/12, A16/12
Os exercícios indicados, salvo aqueles descritos por extenso,
fazem parte do livro Exercícios
de Análise
Matemática I e II, do Dep. Matemática.
SEMANA de 27/9 a 1/10 (2
ª aula):
Princípio de Indução Matemática. Supremos e
infímos de conjuntos.
Exercícios 1.1, 1.2, 1.4, 1.9, 1.13, 1.17, 1.18, 1.20.
SEMANA de 4/10 a 8/10 (3
ª aula):
Sucessões definidas por recorrência. Sucessões
monótonas. Sucessões convergentes.
Exercício 1: Indique
para que valores do parâmetro real a, a sucessão xn=an
é:
(a) monótona;
(b) convergente.
Exercício 2:
Considere a sucessão xn
dada por:
x1=
3/2 xn+1=(xn2
+2)/3
(i) Recorrendo ao princípio de indução
matemática, verifique que 1 < xn
< 2, qualquer que seja n
natural.
(ii) Mostre que a sucessão é decrescente.
(iii) A sucessão xn é
convergente? Justifique.
Outros exercícios:
1.32, 1.36, 1.37, 1.38, 1.44, 1.45, 1.47.
SEMANA de 11/10 a 15/10 (4
ª aula):
Determinação de limites de sucessões.
Subsucessões. Sucessões contractivas.
Exercícios: 1.22,
1.24
e 1.40.
Exercícios Adicionais
SEMANA de 18/10 a 22/10 (5
ª aula):
Determinação de limites de sucessões na
recta acabada. Sucessões de Cauchy.
Exercício: 1.52.
Exercícios Adicionais
SEMANA de 25/10 a 29/10 (6
ª aula):
Condição necessária de convergência
de séries. Critérios de convergência de
séries: critérios de comparação.
Séries somáveis.
Exercícios: 2.3,
2.4, 2.6, 2.8, 2.17, 2.20 e 2.21 (Alguns estão resolvidos no
livro).
Exercícios
Adicionais
SEMANA de 1/11 a 5/11 (7
ª aula):
Critério D´Alembert. Critério da
raíz. Critério de Leibnitz. Séries absolutamente
convergentes e séries simplesmente convergentes.
Exercícios: 2.24, 2.26,
2.27, 2.33 e
2.40.
Exercícios
Adicionais
SEMANA de 8/11 a 12/11 (8
ª aula):
Séries de potências. Funções definidas por
séries de potências.
Exercícios: 2.45 e 2.50.
Exercícios Adicionais:
Exercício 8.1:
Determine os intervalos de convergência das seguintes
séries:
(a) ∑ x2n+1/(2n+1)!
(b) ∑ (x -2)n/log n
Exercício 8.2:
Determine o raio de convergência da série de
potências:
∑ (2x + 1)n/(n(n+1))
e calcule a soma da série no extremo superior do seu
intervalo de convergência.
Exercício 8.3:
Recorrendo à definição por série de
potências da função exponencial, determine uma
aproximação do valor da função em 1 e uma
majoração do erro cometido.
SEMANA
de 15/11 a 19/11 (9 ª aula):
Continuidade local. Limites e continuidade. Teorema da
limitação. Teorema do valor intermédio.
Exercícios: 3.1, 3.11,
3,14, 3.18, 3.21, 3.24, 3.32 e 3.33 .
Prioridade: 3.1a), 3.11,3.24 e 3.32
Exercícios Adicionais:
Exercício 9.1:
Considere a função f : R \ {0} ->
R definida por
f(x) = 1 - xsin(1/x)
(i) Análise f quanto à continuidade.
(ii) Calcule o lim f(x) (quando x tende para 0, + e - infinito).
(iii) A função é limitada no seu domínio?
Justifique.
Exercício 9.2:
Sendo f : I -> I, I = [0, 1] uma função
contínua mostre que existe x pertencente a I que é ponto
fixo de f (isto é, x=f(x) ).
SEMANA
de 22/11 a 26/11 (10 ª aula):
Teorema de Weierstrass. Funções inversas e continuidade.
Exercícios: 3.27; 3.36 e alguns da semana anterior.
SEMANA
de 29/11 a 3/12 (11 ª aula):
Noção de derivada. Cálculo de derivadas por
definição e recorrendo à derivada da
função composta e da função inversa.
Exercicios: 4.9, 4.11 e 4.12.
Exercícios Adicionais:
Exercício 11.1: Calcule a função derivada
de f
quando na definição de f se tem:
(a) f(x) = (x + cos(x))/(1- sin(x))
(b) f(x) = x2(1 + log(x))
(c) f(x) = ch(x)sh(x)
Exercício 11.2:
Determine, conhecendo as derivadas das
funções tgx e sinx, as derivadas das
funções:
g1: R -> R,
g1(x) = arctg(x)
g2: [-1, 1] -> R, g2(x) =
arcsin(x)
SEMANA
de 6/12 a 10/12 (12 ª aula):
Teorema de Lagrange. Regra de Cauchy, Indeterminações.
Exercicios: 4.21, 4.31,
4.48, 4.59, 4.62, 4.64, 4.67 e 4.73
Exercícios Adicionais:
Exercício 12.1:
Considere a função g: ] - infinito ,
-1 [ U ] 1, + infinito [ ->
R
g(y) = arcsin(1/y)
(i) Defina a função inversa.
(ii) Defina a função derivada
g'. Determine g'(2/(2)1/2)
<>Exercício 12.2:
Sejam a, b reais e f uma função
contínua em [a, b] duas vezes diferenciável ]a, b[.
Suponha
que o gráfico de f e o segmento de recta de extremos (a, f(a)) e
(b, f(b)) se intersectam num ponto (x0, f(x0))
com x0
pertencente a ]a, b[. Mostre que existe c pertencente a ]a, b[ tal
que
f ''(c) = 0.
SEMANA
de 13/12 a 17/12 (13 ª aula):
Formúla de Taylor. Extremos de funções.
Exercicios: 4.82, 4.84 e
4.93
Exercícios Adicionais:
Exercício 13.1:
Seja f : [-1/2, 1/2] ->
R, f(x) = arctg x2 + 1
(i) Determine o polinómio de Taylor de 2º grau em x.
(ii) Determine um majorante para o erro que se comete em [-1/2, 1/2] ao
aproximar f pelo polinómio indicado em (i).
Exercício 13.2:
Seja f : R+
->
R, f(x) = -x + x2 cos(1/x)
(i) Escreva a fórmula de Taylor de 2º ordem de f em
relação a x = 2/π e
conclua se x = 2/π
é um extremo da função.
(ii) Indique um majorante do erro que se comete ao aproximar em [1/2,
1] a função pelo polinómio de Taylor indicado em
(i).