Note-se que \[|f(x,y)| \leq \frac{|x|^3}{|x|}=|x|^2\] e, portanto, \(f\) é contínua na origem.

Dado que \(f(0,y)=0\), então \[\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{t\to 0}\frac{f(0,t)-f(0,0)}{t}=0.\] Por outro lado, \[\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{t\to 0}\frac{f(t,0)-f(0,0)}{t}=\lim_{t \to 0}\frac{t^3}{t|t|}=\lim_{t \to 0}|t|=0.\] Portanto, \[\left|\frac{f(x,y)}{||(x,y)||}\right|=\frac{|x|^3}{||(x,y)||^2} \leq ||(x,y)||,\] ou seja, a função \(f\) é diferenciável na origem.

Note-se que \(|f(x,y)| \leq ||(x,y)||^2\) e, portanto, \[\left|\frac{f(x,y)}{||(x,y)||}\right| \leq ||(x,y)||.\]