\(x+y+z \lt 1 \;;\; 0 \lt z \lt \frac{1}{2} \;;\; x \gt 0 \;;\; y \gt 0\)

Cortes perpendiculares ao eixo \(Ox\)

Das inequações de definição do sólido, é claro que $0<x<1$. Também é claro que $z<\frac{1}{2}$ e $z<1-x$. Portanto, ou $1-x<\frac{1}{2}$, ou $1-x>\frac{1}{2}$. Assim, há dois casos a considerar: $x<\frac{1}{2}$ ou $x>\frac{1}{2}$.

Fixando $x$, com $0<x<\frac{1}{2}$, o corte correspondente é o trapézio limitado pelas rectas: \(y=0\,;\,z=0\,;\,z=\frac 1 2 \,;\,y+z=1-x\), tal como se mostra na figura seguinte:

Fixando $x$, com $x>\frac{1}{2}$, o corte correspondente é o triângulo limitado pelas rectas: \(y=0\,;\,z=0\,;\,y+z=1-x\), tal como se mostra na figura seguinte:

Cortes perpendiculares ao eixo \(Oz\)

Fixando a coordenada $z$ entre $0$ e $\frac{1}{2}$, das inequações de definição do sólido, obtém-se \[x+y \lt 1-z \;;\; x \gt 0 \;;\; y \gt 0.\]

Portanto, o corte é um triângulo limitado pelas rectas: $x+y=1-z$ \(\;;\;\) $x=0$ \(\;;\;\) $y=0$, tal como se mostra na figura seguinte:

Cálculo do volume

Seja \(X\) o tronco de pirâmide e considerem-se os cortes \(C(z)\), perpendiculares ao eixo \(Oz\): \[C(z)=\{(x,y): \, 0 \lt x \lt 1-z \;;\; 0 \lt y \lt 1-z-x \}, \quad 0 \lt z \lt \frac 1 2.\]

Pelo Teorema de Fubini, tem-se \[\begin{align}\vol_3(X) &=\int_{0}^{1/2} \vol_2(C(z))dz \\ &=\int_{0}^{1/2}\left(\int_{0}^{1-z}\left(\int_{0}^{1-z-x}dy\right)dx\right)dz.\end{align}\] Dado que o corte \(C(z)\) é um triângulo, tal como se mostra na Fig. 3, então \[\vol_2(C(z))=\frac{(1-z)^2}{2}\] e, portanto, \[\vol_3(X)=\int_{0}^{1/2}\frac{(1-z)^2}{2}dz=\frac 7 {48}.\]