\(\left(\sqrt{x^2+y^2}-4\right)^2+z^2 \lt 1\)

Considere-se apenas a parte do toro em que \(x \gt 0\,,\,y \gt 0\).

Cortes perpendiculares ao eixo \(Ox\)

Da definição, é claro que \((| x |-4)^2 \lt 1\).

Tendo em conta que $x>0$, então $3<x<5$. Portanto, há dois casos a considerar: um para $0<x<3$ e outro para $3<x<5$.

Fixando a variável $x$ no intervalo $0<x<3$, o corte correspondente é o conjunto definido por \[-\sqrt{1-\left(\sqrt{x^2+y^2}-4\right)^2} \lt z \lt \sqrt{1-\left(\sqrt{x^2+y^2}-4\right)^2}\] tal como se mostra na figura seguinte:

Para o caso em que $3<x<5$, o corte correspondente é o conjunto limitado pela recta $y=0$, e pelas linhas definidas, respectivamente, por \[z=-\sqrt{1-\left(\sqrt{x^2+y^2}-4\right)^2}\] e por \[z=\sqrt{1-\left(\sqrt{x^2+y^2}-4\right)^2},\] tal como se mostra na figura seguinte.

Cortes perpendiculares ao eixo \(Oz\)

Fixando $z$, com $\left|z\right|<1$, da inequação de definição, conclui-se que o corte correspondente é dado por \[4-\sqrt{1-z^2} \lt \sqrt{x^2+y^2} \lt 4+\sqrt{1-z^2} \;;\; x \gt 0 \;;\; y \gt 0,\] tal como se mostra na figura seguinte:

Cálculo do volume

Seja \(X\) o toro e considerem-se os cortes \(C(z)\), perpendiculares ao eixo \(Oz\): \[C(z)=\left\{(x,y): 4-\sqrt{1-z^2} \lt \sqrt{x^2+y^2} \lt 4+\sqrt{1-z^2} \,;\, x \gt 0 \,;\, y \gt 0 \right\}\] para \(-1 \lt z \lt 1\).

Pelo Teorema de Fubini, tem-se \[\vol_3(X)=\int_{-1}^{1} \vol_2(C(z))dz.\] Dado que o corte \(C(z)\) é um quarto de uma coroa circular, tal como se mostra na Fig. 3, então \[\begin{align} \vol_2(C(z)) &=\frac\pi 4 \left(\left(4+\sqrt{1-z^2}\right)^2-\left(4-\sqrt{1-z^2}\right)^2\right) \\ &=4\pi\sqrt{1-z^2}\end{align} \] e, portanto, \[\begin{align} \vol_3(X) & =4\pi\int_{-1}^{1}\sqrt{1-z^2}dz \\ & =8\pi\int_{0}^{1}\sqrt{1-z^2}dz.\end{align} \]

Efectuando a mudança de variável \(z=\sen t,\) obtém-se \[\begin{align} \vol_3(X) & = 8\pi\int_{0}^{\pi/2}\!\!\cos^2 \!t\,dt \\ & = 8\pi\int_{0}^{\pi/2}\frac{\cos (2t)+1}{2}dt \\ & =2\pi^2.\end{align}\]