\( \newcommand{\sen}{\mathop{\rm sen}\nolimits} \newcommand{\arcsen}{\mathop{\rm arcsen}\nolimits} \newcommand{\vol}{\mathop{\rm vol}\nolimits} \)
Sólido limitado por uma sela

\(0 \lt z \lt x^2-y^2 \;;\; 0 \lt x \lt 1\)

Cortes perpendiculares ao eixo \(Ox\)

Fixando a coordenada \(x\) entre \(0\) e \(1\), obtém-se: \(0 \lt z \lt x^2-y^2\) e \(x^2-y^2 \gt 0 ,\) isto é, \[0 \lt z \lt x^2-y^2 \;;\; -x \lt y \lt x,\] tal como se mostra na figura seguinte:

corte x
Fig. 1 Corte perpendicular a \(Ox\)

Cortes perpendiculares ao eixo \(Oy\)

Da definição, fica claro que \(y^2 \lt x^2 -z \lt x^2 \lt 1.\) Portanto, fixando a coordenada \(y\) entre \(-1\) e \(1\), obtém-se: \[|y| \lt x \lt 1 \;;\; 0 \lt z \lt x^2-y^2,\] tal como se mostra na figura seguinte:

corte y
Fig. 2 Corte perpendicular a \(Oy\)

Cortes perpendiculares ao eixo \(Oz\)

Da definição, deduz-se \(0 \lt z \lt x^2 \lt 1.\) Portanto, fixando a coordenada \(z\) entre \(0\) e \(1\), obtém-se: \[y^2 \lt x^2-z \lt 1-z,\] o que implica que \[y^2+z \lt x^2 \lt 1,\] isto é, \[|y| \lt \sqrt{1-z} \;;\; \sqrt{y^2+z} \lt x \lt 1,\] tal como se mostra na figura seguinte:

corte z
Fig. 3 Corte perpendicular a \(Oz\)

Cálculo do volume

Seja \(X\) o sólido e considerem-se os cortes \(C(x)\), perpendiculares ao eixo \(Ox\): \[C(x)=\{(y,z): -x \lt y \lt x \,;\, 0 \lt z \lt x^2-y^2\}, \quad 0 \lt x \lt 1.\] Pelo Teorema de Fubini, tem-se \[\begin{align}\vol_3(X) &=\int_{0}^{1} \vol_2(C(x))dx \\ &=\int_{0}^{1}\left(\int_{-x}^{x}\left(\int_{0}^{x^2-y^2}dz\right)dy\right)dx \\ &=\frac 1 3.\end{align}\]