\(0 \lt x \lt 1 \;;\; 0 \lt y \lt 1 \;;\; 0 \lt z \lt x^2+ y^2\)

Cortes perpendiculares ao eixo \(Ox\)

Fixando \(0 \lt x \lt 1\), obtém-se: \[0 \lt y \lt 1 \;;\; 0 \lt z \lt x^2+y^2.\] Assim, os cortes perpendiculares ao eixo \(Ox\) terão a forma que se apresenta na figura seguinte.

Cortes perpendiculares ao eixo \(Oz\)

Da definição, é claro que \( 0 \lt z \lt 2\). O corte perpendicular ao eixo \(Oz\) é a intersecção do interior do quadrado, dado por \(0 \lt x \lt 1 \;;\; 0 \lt y \lt 1\), com o exterior do círculo de raio \(\sqrt{z}\), com centro na origem e definido por \(x^2+y^2 \gt z\). Assim, há dois casos a considerar: ou \(0 \lt z \lt 1\), ou \(1 \lt z \lt 2\).

Para \(0 \lt z \lt 1\), o corte encontra-se representado na figura seguinte:

Para \(1 \lt z \lt 2\), o corte encontra-se representado na figura seguinte:

Cálculo do volume

Seja \(X\) o sólido e considerem-se os cortes \(C(x)\), perpendiculares ao eixo \(Ox\): \[C(x)=\{(y,z): 0 \lt y \lt 1 \,;\, 0 \lt z \lt x^2+y^2 \}, \quad 0 \lt x \lt 1.\] Pelo Teorema de Fubini, tem-se \begin{eqnarray*} \vol_3(X) &=& \int_{0}^{1} \vol_2(C(x))dx\\ &=& \int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{x^2+y^2}dz\right)dy\right)dx \\ &=&\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{1}(x^2+y^2)dy\right)dx \\ &=&\frac 2 3. \end{eqnarray*}