\(0 \lt x \lt 1 \;;\; \frac{x}{2} \lt y \lt x \;;\; 0 \lt z \lt x\)

Cortes perpendiculares ao eixo \(Ox\)

Fixando a coordenada \(x\) entre \(0\) e \(1\), obtém-se:
\[\frac{x}{2} \lt y \lt x \;;\; 0 \lt z \lt x.\] Portanto, o corte é um rectângulo limitado pelas rectas: \[y=\frac{x}{2} \;;\; y=x \;;\; z=0 \;;\;z=x,\] tal como se mostra na figura seguinte:

Cortes perpendiculares ao eixo \(Oy\)

Das inequações obtém-se \(0 \lt x \lt 1 \;;\; y \lt x \lt 2y\).

Assim, há dois casos a considerar: ou \(2y \lt 1\) ou \(2y \gt 1\).

Fixando a coordenada \(y\) entre \(0\) e \(\frac{1}{2}\), o corte fica definido por: \[y \lt x \lt 2y \;;\; 0 \lt z \lt x,\] tal como se mostra na figura seguinte:

Fixando a coordenada \(y\) entre \(\frac 1 2\) e \(1\), o corte fica definido por: \[y \lt x \lt 1 \;;\; 0 \lt z \lt x,\] tal como se mostra na figura seguinte:

Cortes perpendiculares ao eixo \(Oz\)

Das inequações é claro que \(0 \lt z \lt 1\). Fixando a coordenada \(z\) entre \(0\) e \(1\), obtém-se: \[z \lt x \lt 1 \;;\; \frac x 2 \lt y \lt x.\] Portanto, o corte é um conjunto limitado pelas rectas: \[x=z \;;\;x=1 \;;\;y= \frac x 2 \;;\;y=x,\] tal como se mostra na figura seguinte:

Cálculo do volume

Seja \(X\) a pirâmide e considerem-se os cortes \(C(x)\), perpendiculares ao eixo \(Ox\): \[C(x)=\{(y,z): \, \frac x 2 \lt y \lt x \;;\; 0 \lt z \lt x \}, \quad 0 \lt x \lt 1.\] Pelo Teorema de Fubini, tem-se \[\vol_3(X)=\int_{0}^{1} \vol_2(C(x))dx=\int_{0}^{1}\left(\int_{x/2}^{x}\left(\int_{0}^{x}dz\right)dy\right)dx.\] Dado que o corte \(C(x)\) é um rectângulo, tal como se mostra na Fig. 1, então \[\vol_2(C(x))=\frac{x^2}{2}\] e, portanto, \[\vol_3(X)=\int_{0}^{1}\frac{x^2}{2}dx=\frac 1 6.\]

O volume também pode ser calculado usando os cortes \(C(z)\), perpendiculares ao eixo \(Oz\): \[C(z)=\{(x,y): \, z\lt x \lt 1 \;;\;\frac x 2 \lt y \lt x \}, \quad 0 \lt z \lt 1.\] Pelo Teorema de Fubini, tem-se \begin{eqnarray*} \vol_3(X)&=&\int_{0}^{1} \vol_2(C(z))dz \\ &=& \int_{0}^{1}\left(\int_{z}^{1}\left(\int_{x/2}^{x}dy\right)dx\right)dz \\ &=&\int_{0}^{1}\left(\int_{z}^{1}\frac x 2 dx\right)dz \\ &=&\frac 1 4 \int_{0}^{1}(1-z^2)dz\\ &=&\frac 1 6. \end{eqnarray*}