\(x^2+y^2 \lt z \lt 1\)

Cortes perpendiculares ao eixo \(Ox\)

Da definição, é claro que \(x^2 \lt 1\), ou seja, \(|x| \lt 1\). Portanto, fixando a variável \(x\) no intervalo \(-1 \lt x \lt 1\), os cortes perpendiculares ao eixo \(Ox\) são conjuntos limitados pela recta \(z=1\) e pela parábola \(z=x^2+y^2\), tal como se mostra na figura seguinte:

Cortes perpendiculares ao eixo \(Oz\)

É claro que a variável \(z\) deve ser fixada no intervalo \(0 \lt z \lt 1\). Da definição \(x^2+y^2 \lt z\), conclui-se que os cortes perpendiculares ao eixo \(Oz\) são círculos centrados na origem e de raio \(\sqrt{z}\), tal como se mostra na figura seguinte:

Cálculo do volume

Seja \(X\) o parobolóide e considerem-se os cortes \(C(z)\), perpendiculares ao eixo \(Oz\): \[C(z)=\{(x,y): \, x^2 + y^2 \lt z\}, \quad 0 \lt z \lt 1.\] Pelo Teorema de Fubini, tem-se \begin{align*} \vol_3(X) & =\int_{0}^{1}\!\!\!\ \vol_2(C(z))dz \\ &= \int_{0}^{1}\left( \int_{-\sqrt{z}}^{\sqrt{z}} \left(\int_{-\sqrt{z-y^2}}^{\sqrt{z-y^2}}dx\right)dy\right)dz. \end{align*} Dado que o corte \(C(z)\) é um círculo de raio \(\sqrt{z}\), tal como se mostra na Fig. 2, então \[\vol_2(C(z))=\pi z\] e, portanto, \[\vol_3(X)=\pi\int_{0}^{1}z dz=\frac \pi 2.\]