\(x^2+y^2 \lt 1+3z^2 \;;\; |z| \lt 1\)

Cortes perpendiculares ao eixo \(Ox\)

Fixando a variável \(x\), obtém-se: \(y^2-3z^2 \lt 1 - x^2\).

Note-se que esta inequação define um conjunto limitado por dois ramos de uma hipérbole no plano \(Oyz\).

Se \(1-x^2 \gt 0 \Leftrightarrow |x| \lt 1\), então a hipérbole intersecta o eixo \(Oy\).

Se \(1-x^2 \lt 0 \Leftrightarrow |x| \gt 1\), então a hipérbole intersecta o eixo \(Oz\).

Da definição é claro que \(x^2 \lt 1+3z^2 \lt 4\) e, portanto, há dois casos a considerar: \(|x| \lt 1\) ou \(1 \lt |x| \lt 2\).

Para o caso em que \(|x| \lt 1\), obtém-se \(y^2-3z^2 \lt 1 - x^2\) e, portanto, o corte é um conjunto limitado pelas rectas \(z=1\) e \(z=-1\), e pelos dois ramos da hipérbole definida por \(y^2-3z^2 = 1 - x^2\) , ou seja, é o conjunto definido por \[ \cases{ -1 \lt z \lt 1 \cr\cr -\sqrt{1-x^2+3z^2} \lt y \lt \sqrt{1-x^2+3z^2}, } \] tal como se mostra na figura seguinte:

Para o caso em que \(1 \lt |x| \lt 2\), obtém-se \(3z^2-y^2 \gt x^2-1\), e, portanto, o corte é a união de dois conjuntos definidos, respectivamente, por \[\sqrt{\frac{1}{3}\left(x^2+y^2-1\right)} \lt z \lt 1\] e por \[-1 \lt z \lt -\sqrt{\frac{1}{3}\left(x^2+y^2-1\right)},\] tal como se mostra na figura seguinte:

Cortes perpendiculares ao eixo \(Oz\)

Para \(-1 \lt z \lt 1\), da definição, é claro que os cortes perpendiculares ao eixo \(Oz\) são círculos centrados na origem e de raio \(\sqrt{1+3z^2}\), tal como se mostra na figura seguinte:

Cálculo do volume

Seja \(X\) o hiperbolóide e considerem-se os cortes \(C(z)\), perpendiculares ao eixo \(Oz\): \[C(z)=\{(x,y): \, x^2 + y^2 \lt 1+3z^2\}, \quad -1 \lt z \lt 1.\] Pelo Teorema de Fubini, tem-se \[\vol_3(X)=\int_{-1}^{1} \vol_2(C(z))dz.\] Dado que o corte \(C(z)\) é um círculo de raio \(\sqrt{1+3z^2}\), tal como se mostra na Fig. 3, então \[\vol_2(C(z))=\pi (1+3z^2) \] e, portanto, \[\begin{align} \vol_3(X) & =\pi\int_{-1}^{1} (1+3z^2)dz \\ & = 2\pi\int_{0}^{1} (1+3z^2)dz \\ & = 4\pi. \end{align}\]