\( \newcommand{\sen}{\mathop{\rm sen}\nolimits} \newcommand{\arcsen}{\mathop{\rm arcsen}\nolimits} \newcommand{\vol}{\mathop{\rm vol}\nolimits} \)
Um Cilindro

\(x^2+y^2 \lt 1 \;;\; -1 \lt z \lt 1 \)

Cortes perpendiculares ao eixo \(Ox\)

Da definição é claro que \(-1 \lt x \lt 1\) e, fixando \(x=x_0\) nesse intervalo, tem-se \[ \cases{ -\sqrt{1-x^2} \lt y \lt \sqrt{1-x^2} \cr\cr -1 \lt z \lt 1. } \] Portanto, os cortes perpendiculares ao eixo \(Ox\) são rectângulos tal como se mostra na figura seguinte:

corte x
Fig. 1 Corte perpendicular a \(Ox\)

Cortes perpendiculares ao eixo \(Oz\)

Da definição é claro que os cortes perpendiculares ao eixo \(Oz\) são cí­rculos de raio igual a 1 e centrados no eixo \(Oz\), tal como se mostra na figura seguinte:

corte z
Fig. 2 Corte perpendicular a \(Oz\)

Cálculo do volume

Seja \(X\) o cilindro e considerem-se os cortes \(C(z)\), perpendiculares ao eixo \(Oz\): \[C(z)=\{(x,y): \, x^2 + y^2 \lt 1\}, \quad -1 \lt z \lt 1.\] Pelo Teorema de Fubini, tem-se \[\begin{align}\vol_3(X) &=\int_{-1}^{1} \vol_2(C(z))dz \\ &=\int_{-1}^{1}\left(\int_{-1}^{1}\left(\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}dx\right)dy\right)dz.\end{align}\] Dado que o corte \(C(z)\) é um círculo de raio 1, tal como se mostra na Fig. 2, então \[\vol_2(C(z))=\pi \] e, portanto, \[\vol_3(X)=\pi\int_{-1}^{1} dz=2\pi.\]