Geometria Riemanniana - 1º Semestre de 2009/2010

Programa

Variedades: variedades diferenciáveis; aplicações diferenciáveis; espaço tangente; imersões e mergulhos; campos vectoriais; fluxos de campos vectoriais; parêntesis de Lie; grupos de Lie; orientabilidade; variedades com bordo; formas diferenciais; integração em variedades e teorema de Stokes; campos tensoriais.

Métricas: variedades Riemannianas; isometrias; métricas invariantes à esquerda; conexões afins; conexão de Levi-Civita; geodésicas; propriedades minimizantes das geodésicas; teorema de Hopf-Rinow.

Curvatura: tensor de curvatura; curvatura seccional; tensor de Ricci; curvatura escalar; formas de conexão e de curvatura; equações estruturais de Cartan; índice de um campo vectorial numa singularidade; característica de Euler; teorema de Gauss-Bonnet; imersões isométricas; aplicação de Gauss; curvaturas média e de Gauss; teorema Egregium; primeira e segunda formas fundamentais.

Aplicações: relatividade geral.

Bibliografia

L. Godinho e J. Natário, An Introduction to Riemannian Geometry with Applications

Manfredo Perdigão de Carmo, Geometria Riemanniana, IMPA (1988)

Manfredo Perdigão de Carmo, Differential Forms and Applications, Springer (1994)

W. Boothby, An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry, Academic Press (2003)

N. Hicks, Notes on Differential Geometry, D. Van Nostrand Comp. (1965)

S. Gallot, D. Hulin e J. Lafontaine, Riemannian Geometry, Springer (1987)

Y. Choquet-Bruhat, C. De Witt-Morette e M. Dillard-Bleick, Analysis, Manifolds and Physics , Elsevier (1996)

Avaliação

Trabalhos de casa: Séries quinzenais de trabalhos de casa, contribuem com 10% da nota final.

Testes/Exames: Dois testes, de 90 minutos cada, contribuem 45% cada para a nota final. O primeiro teste será a 2 de Novembro (18h). O segundo teste será a 15 de Janeiro (17h) e coincidirá com a data do primeiro exame. Os alunos poderão recuperar ambos os testes na data do segundo exame a 29 de Janeiro (17h), que é usada para recurso. De 11 a 14 de Janeiro estarei disponível para esclarecimento de dúvidas sobre a matéria do primeiro exame.

Sumário das Aulas

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Fichas de Trabalho

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