Ana Ferreira

IST-UL

Extremos em Probabilidades e Estatística

A Teoria de Valores Extremos permite caracterizar acontecimentos extremos associados a valores elevados (ou baixos) de quantidades como precipitação, nível do mar, concentração de determinado poluente, medida de fadiga de determinado material, velocidade do vento, etc, estabelecendo leis limite para máximos (ou mínimos) amostrais convenientemente normalizados. Em particular, modelos existentes permitem extrapolar para além da informação amostral. Por exemplo, na estimação da probabilidade de que certo poluente atinja determinados níveis críticos nunca antes observados ou, na estimação do valor para o nível do mar correspondente a uma excedência média em cada 100 ou 10 000 anos, designado valor de retorno a 100 ou 10 000 anos.

Alguns dos modelos e métodos de estimação mais usuais serão abordados e enquadrados em diversas aplicações. Por exemplo, na construção de diques ou barragens com restrições impostas para níveis de retorno, e na análise de valores elevados de precipitação.

Carlos Alves

IST-UL

Matrizes, imagens, operadores integrais e problemas inversos

A discretização de operadores integrais foi entendida por Fredholm como um processo de generalizar conceitos matriciais, nomeadamente a noção de determinante. Nesse contexto, o núcleo de um operador integral pode ser visto como uma imagem, na relação directa que se estabelece entre imagens e matrizes. Uma maior regularidade desse núcleo integral, pode ser associada a uma imagem mais suave, mas traz problemas de estabilidade na inversão do operador integral, e de forma similar na inversão das matrizes associadas. Analisaremos brevemente algumas técnicas de regularização para o problema inverso, associadas à resolução problemas de recuperação de informação por medições sujeitas a ruído aleatório, com aplicações em problemas de engenharia e imagiologia médica.

Henrique M. Oliveira

IST-UL

Sincronização, um fenómeno universal

Em inúmeros fenómenos de oscilação na Natureza surge a sincronização. O bater do coração, o emparelhamento das células cerebrais perante um estímulo que provoca a epilepsia, um feixe de luz laser, o caminhar sobre uma estrutura móvel, como no caso da Ponte do Milénio em Londres, a sincronização dos investimentos na bolsa, o acoplamento de osciladores na electrónica, o piscar sincopado dos pirilampos, os movimentos síncrono de cardumes e bandos de aves, todos estes fenómenos são sincronizações entre sistemas dinâmicos. A par do caos a sincronização é um dos fenómenos mais recorrentes na Natureza. Huygens, inventor do relógio de pêndulo, foi há 350 anos um dos primeiros matemáticos a observar esta sincronização entre dois pêndulos de dois dos seus relógios quando se encontravam na mesma parede. Mais tarde Adler observou o mesmo facto entre dois circuitos RLC. O caso dos pêndulos tinha vindo a ser estudado usando o modelo de base móvel, como acontece com os metrónomos que se podem ver em muitos filmes na internet, o que é outro exemplo de sincronização rápida na Natureza. Mas no caso dos relógios a sincronização é lenta, feita por pequenas perturbações que levam a uma sincronização muito estável e cujas equações são universais e semelhantes aos modelos de Adler. No fundo a diferença de fase obedece a uma iteração que tem um ponto fixo estável, naquilo que Adler já tinha observado em meados de 1946. Nesta história existem também mestres e escravos em oposição a parceiros com os mesmos direitos! Esta pequena série de palestras é uma viagem panorâmica por estes fenómenos, em que os estudantes têm apenas de conhecer a equação do oscilador harmónico e saber iterar uma função!

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