Instituto Superior Técnico
Departamento de Matemática Secção de Matemática Aplicada e Análise Numérica |
2º Trabalho
Análise e Simulação Numérica Licenciatura em Eng. Ambiente Licenciatura em Química |
TRABALHO nº 23
o trabalho deve ser entregue até 4 de Junho de 2004. Deve ser entregue uma disquete com os programas e um relatório até 12 páginas. |
d | 3 | 4 | 7 | 8 | 10 | 11 | 15 |
M | 4.510 | 3.750 | 3.110 | 3.130 | 3.300 | 3.460 | 4.710 |
em que d representa o tempo de medição (em dias) e M um valor aproximado da população (em milhares).
a)
(i) Construa um programa que a partir de uma lista de pontos devolva
o polinómio interpolador.
(ii) Através dos valores obtidos em quatro dias determine um
polinómio interpolador de forma a prever qual a população
nos dias 5, 6 e 9.
(iii) Efectue uma extrapolação para prever a população
no instante inicial, usando dois ou três conjuntos de nós
de interpolação, escolhidos na tabela.
(iv) Através de interpolação inversa em 3 nós,
preveja os dois instantes em que a população atingiu o valor
4.000, descrevendo esse instante em termos de dias, horas e minutos.
b)
Verificou-se depois que essa população continha três
tipos de micro-organismos, cuja população crescia (ou decrescia)
de forma diferente:
- micro-organismo X: MX(d) = A exp(-0.4 d),
- micro-organismo Y: MY(d) = B exp(-0.2 d),
- micro-organismo Z: MZ(d) = C exp(+0.1 d),
em que X, Y e Z designa o valor inicial da população
para os micro-organismos X, Y e Z (respectivamente).
Partindo das 3 funções base, determine a melhor aproximação
2. Considere o seguinte crescimento na concentração
de uma substância química (poluente):
T | 0 | 2 | 4 | 8 | 12 | 14 | 16 |
q' | 0 | 0.5 | 0.740 | 1.350 | 1.130 | 1.950 | 1.820 |
em que T é o tempo (em horas) e em que q(t) indica a concentração da substância (mg/m3) no instante t. O crescimento da concentração é dado pela derivada q'.
a) Construa algoritmos que devolvam a aproximação
de um integral usando as Regras dos Trapézios e de Simpson, com
nós igualmente espaçados.
b) Dispondo apenas do valor inicial, q(0) = 7 mg/m3,
pretende-se determinar um valor aproximado para q(16). Use a Regra
dos Trapézios e de Simpson para aproximar o integral de q'
(considerando apenas nós apropriados).
c) Apresente uma estimativa de erro, através de uma aproximação
das derivadas de ordem superior usando diferenças divididas. Genericamente,
poderá assumir que o máximo de |f (n)(x)|
é aproximado pelo máximo de n! f[x0,...,xn]
usando os valores tabelados.