Instituto Superior Técnico
Departamento de Matemática Secção de Matemática Aplicada e Análise Numérica |
2º Trabalho
Análise e Simulação Numérica Licenciatura em Eng. Ambiente Licenciatura em Química |
TRABALHO nº 22
o trabalho deve ser entregue até 4 de Junho de 2004. Deve ser entregue uma disquete com os programas e um relatório até 12 páginas. |
T | 2 | 4 | 7 | 8 | 10 | 11 | 15 |
X | 8.770 | 5.970 | 3.890 | 3.360 | 2.690 | 2.330 | 1.440 |
em que T representa o tempo de medição (em dias) e X um valor aproximado da população (em milhares).
a)
(i) Construa um programa que a partir de uma lista de pontos devolva
o polinómio interpolador.
(ii) Através dos valores obtidos em quatro dias determine um
polinómio interpolador de forma a prever qual a população
nos dias 3, 5, 6 e 9.
(iii) Efectue uma extrapolação para prever a população
no instante inicial, usando dois ou três conjuntos de nós
de interpolação, escolhidos na tabela.
(iv) Através de interpolação inversa em 4 nós,
preveja em que instante a população atingiu o valor 3.000,
descrevendo esse instante em termos de dias, horas e minutos.
b)
Verificou-se (a posteriori) que essa população continha
três tipos de micro-organismos, cuja população decrescia
de forma diferente:
- micro-organismo A: XA(T) = A exp(-0.5 T),
- micro-organismo B: XB(T) = B exp(-0.2 T),
- micro-organismo C: XC(T) = C exp(-0.1 T),
em que A, B e C designa o valor inicial da população
para os micro-organismos A, B e C (respectivamente).
Partindo das 3 funções base, determine a melhor aproximação
2. Considere o seguinte crescimento na concentração
de uma substância química (poluente):
T | 0 | 2 | 3 | 4 | 6 | 8 | 9 | 10 | 12 |
c' | 0 | 0.1 | 0.2 | 0.740 | 1.350 | 1.130 | 1.05 | 0.950 | 0.820 |
em que T é o tempo (em horas) e em que c(t) indica a concentração da substância (mg/m3) no instante t. O crescimento da concentração é dado pela derivada c'.
a) Construa algoritmos que devolvam a aproximação
de um integral usando as Regras dos Trapézios e de Simpson, com
nós igualmente espaçados.
b) Dispondo apenas de um valor intermédio, c(4)
= 23 mg/m3, pretende-se determinar um valor aproximado para
c(0)
e c(12). Use a Regra dos Trapézios para calcular c(0)
e a de Simpson para c(12), aproximando o integral de c'
(considere apenas os nós apropriados).
c) Apresente uma estimativa de erro, através de uma aproximação
das derivadas de ordem superior usando diferenças divididas. Genericamente,
poderá assumir que o máximo de |f (n)(x)|
é aproximado pelo máximo de n! f[x0,...,xn]
usando os valores tabelados.