Instituto Superior Técnico
Departamento de Matemática Secção de Matemática Aplicada e Análise Numérica |
2º Trabalho
Análise e Simulação Numérica Licenciatura em Eng. Ambiente Licenciatura em Química |
TRABALHO nº 21
o trabalho deve ser entregue até 4 de Junho de 2004. Deve ser entregue uma disquete com os programas e um relatório até 12 páginas. |
t | 4 | 6 | 7 | 8 | 10 | 11 | 12 |
P | 3.050 | 2.140 | 1.740 | 1.350 | 1.130 | 0.950 | 0.820 |
em que t representa o tempo de medição (em dias) e P um valor aproximado da população (em milhões).
a)
(i) Construa um programa que a partir de uma lista de pontos devolva
o polinómio interpolador.
(ii) Através dos valores obtidos nos dias 7, 8, 10, 11 determine
um polinómio interpolador de forma a prever qual a população
no dia 9.
(iii) Efectue uma extrapolação para prever a população
no instante inicial, usando dois ou três conjuntos de nós
de interpolação, escolhidos na tabela.
(iv) Através de interpolação inversa em 4 nós,
preveja em que instante a população atingiu o valor 1.000,
descrevendo esse instante em termos de dias, horas e minutos.
b)
Verificou-se (a posteriori) que essa população continha
três tipos de micro-organismos, cuja população decrescia
de forma diferente:
- micro-organismo A: PA(t) = A exp(-0.5 t),
- micro-organismo B: PB(t) = B exp(-0.25 t),
- micro-organismo C: PC(t) = C exp(-0.125 t),
em que A, B e C designa o valor inicial da população
para os micro-organismos A, B e C (respectivamente).
Partindo das 3 funções base, determine a melhor aproximação
2. Considere o seguinte crescimento na concentração
de uma substância química (poluente):
T | 0 | 3 | 6 | 9 | 10 | 11 | 12 |
s' | 0.050 | 2.140 | 1.740 | 1.350 | 1.130 | 0.950 | 0.820 |
em que T é o tempo (em horas) e em que s(t) indica a concentração da substância (mg/m3) no instante t. O crescimento da concentração é dado pela derivada s'.
a) Construa algoritmos que devolvam a aproximação
de um integral usando as Regras dos Trapézios e de Simpson, com
nós igualmente espaçados.
b) Dispondo apenas do valor final, s(12) = 42 mg/m3,
pretende-se determinar um valor aproximado para s(0). Use a Regra
dos Trapézios e de Simpson para aproximar o integral de s'
(considerando apenas nós apropriados).
c) Apresente uma estimativa de erro, através de uma aproximação
das derivadas de ordem superior usando diferenças divididas. Por
exemplo, poderá assumir que o máximo de |f (n)(x)|
é aproximado pelo máximo de n! f[x0,...,xn]
usando os valores tabelados.