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30/03/2005, 12:00 — 13:00 — Room P10, Mathematics Building
Jorge Machado, 4º ano da LEEC, IST

Geometria em Superfícies

Vista de perto, uma superfície é semelhante a um plano. Generalizando a noção de distância num plano, podemos definir métricas numa superfície. A uma superfície dotada de uma métrica com boas propriedades chamamos uma geometria.
Exemplos de geometrias são o espaço euclidiano, a esfera e o plano hiperbólico. Será que existem outros? Será que qualquer superfície admite uma geometria? Será que essa geometria é única? Estas e outras questões serão abordadas neste seminário.

16/03/2005, 12:00 — 13:00 — Room P10, Mathematics Building
Tiago Reis, 5º ano da LMAC, IST

Conjuntos que não se decidem

É muito fácil definir conjuntos, por exemplo "o conjunto A dos números primos gémeos". Mas será assim tão fácil provar propriedades de A? - Será A não vazio? Sim, 3 e 5 são primos gémeos. Conseguirei encontrar o próximo par de elementos de A sem dificuldades? Será que A tem infinitos elementos?...
Neste seminário vamos olhar para conjuntos de números naturais e perceber de onde provêm as dificuldades. Com alguma criatividade poderemos construir conjuntos para os quais não conseguimos responder à simples questão: "Será que este elemento pertence a este conjunto?".

02/03/2005, 12:00 — 16:00 — Room P10, Mathematics Building
Luís Gil, 4º ano da LCI, IST

Modelação de plantas e fractais através de gramáticas

Em 1968 o biólogo Aristid Lindenmayer apresentou um modelo matemático para descrever o crescimento e desenvolvimento de plantas. Este modelo utiliza o conceito de gramática, isto é, um conjunto de regras que permite gerar algoritmicamente sequências de símbolos duma dada linguagem. Após a definição de um sistema de interpretação geométrica para estes símbolos torna-se possível gerar imagens de plantas de uma maneira muito realista. Neste seminário vamos descrever este método e utilizá-lo para gerar interactivamente figuras de plantas e fractais.

Atenção ao novo horário

07/12/2004, 12:00 — 13:00 — Room P8, Mathematics Building, IST
Luís Alexandre Pereira, 2º ano da LMAC, IST

Equações Diofantinas, Ternos Pitagóricos e Pontos Racionais em Curvas Elípticas

Uma questão importante em Teoria dos Números é encontrar soluções racionais de um polinómio de coeficientes racionais. Os casos linear e de equações a uma variável são de fácil resolução. A duas incógnitas, o caso quadrático (não sendo trivial) está completamente compreendido e sabe-se que equações não-singulares de grau superior ao terceiro só podem ter um número finito de soluções. Neste seminário vamos estudar o caso das cúbicas a duas incógnitas, onde há ainda muitas questões em aberto; por exemplo, não é sequer conhecido um algoritmo para determinar se uma equação tem ou não soluções. No entanto, conhecendo uma delas é possível introduzir no conjunto de pontos solução uma estrutura de grupo abeliano. É essa estrutura de grupo que vamos caracterizar, apresentando alguns resultados relevantes sobre ela conhecidos.

23/11/2004, 12:00 — 13:00 — Room P8, Mathematics Building, IST
Nuno Freitas, 3º Ano da LMAC, IST

A Função π(x) e a Hipótese de Riemann

Função Zeta, Teorema dos Números Primos, π(x) e Hipótese de Riemann são termos que facilmente se encontram num livro de divulgação, mas o que querem dizer? Neste seminário vamos responder à pergunta anterior através de uma breve visita ao artigo de Bernhard Riemann On the Number of Prime Numbers Less Than a Given Quantity. Neste artigo Riemann obtém uma fórmula para a função π(x) e levanta uma conjectura que se tornou num dos mais importantes problemas em aberto da Matemática actual: a Hipótese de Riemann.

09/11/2004, 12:00 — 13:00 — Room P8, Mathematics Building, IST
Andreia Gomes, 3º ano da LMAC, IST

Último Teorema de Fermat

A equação xn + yn = zn não tem soluções inteiras não nulas para n>2. Um problema de tão simples enunciado resistiu mais de 350 anos aos esforços dos melhores matemáticos. Neste seminário será apresentado o Teorema de Kumer, que prova o Teorema de Fermat para o caso particular do expoente ser um primo regular (conceito a explicar no seminário). Este teorema foi provado em 1850 e ocupa uma posição importante no desenvolvimento da demonstração do UTF. Para acompanhar este seminário bastam conceitos muito elementares de álgebra.

26/10/2004, 12:00 — 13:00 — Room P8, Mathematics Building, IST
Bruno Montalto, 2º ano da LMAC, IST

Processos de Markov

Os processos (ou cadeias) de Markov modelam evoluções aleatórias - chamam-se rigorosamente processos estocásticos - de sistemas "sem memória", como por exemplo o dinheiro de que dispomos ao longo de um jogo de roleta, a evolução no jogo da glória ou o número de exemplares de uma espécie numa dada população em estudo. Sendo relativamente simples e bastante comuns, é possível, sem ferramentas matemáticas demasiado sofisticadas, estudar muitas das suas propriedades fundamentais, com várias aplicações de interesse. Neste seminário vamos introduzir estes processos de forma rigorosa, bem como expor algumas das características que os tornam fáceis de estudar. Apresentaremos formas explícitas de "calcular" o seu comportamento, e daremos uma ideia das suas aplicações a vários aspectos da nossa vida.

12/10/2004, 12:00 — 13:00 — Room P8, Mathematics Building, IST
Joana Santos, 3º ano da LMAC, IST

Politopos Simples, Soluções Simples

Em 1988 Gil Kalai demonstrou de uma maneira "simples", fazendo apenas uso de geometria elementar e argumentos combinatórios, que se pode reconstruir um politopo simples a partir do seu grafo, isto é, a partir dos seus vértices e arestas. Este problema, de solução realmente simples em dimensões menores ou iguais a três, mas não tão simples em dimensões superiores, é, tal como outros problemas de combinatória e teoria de grafos, muito importante em programação linear e em optimização de algoritmos computacionais. Nesta apresentação tentaremos perceber o que são politopos e grafos de politopos, porque razão o seu estudo é importante e dar algumas ideias da demonstração de Kalai.

01/06/2004, 12:00 — 13:00 — Room P8, Mathematics Building, IST
Luís Diogo, 3º ano da LMAC, IST

Análise Infinitesimal com Infinitesimais

Neste seminário vamos apresentar uma extensão do conjunto dos números reais: o conjunto dos números hiperreais. Com ele, podemos obter demonstrações alternativas para os teoremas da Análise Real, em certos casos mais directas que as usuais e que incorporam directamente argumentos que estiveram na génese do Cálculo Infinitesimal. Estruturas deste tipo ampliam a capacidade expressiva da Matemática, podendo ser usadas, por um lado, para caracterizar de forma mais directa conceitos como o de distribuição, e por outro, para introduzir objectos sem paralelo em Análise Standard.

18/05/2004, 12:00 — 13:00 — Room P8, Mathematics Building, IST
Ana Knopfli, 2º ano da LMAC, Instituto Superior Técnico

Problema Restrito dos 3 corpos

Quando estudamos o movimento de 2 corpos, conseguimos obter a solução exacta das suas órbitas a partir das equações do movimento de cada um deles.

Porém, basta considerarmos um sistema com apenas mais um corpo para que a situação se complique, e não haja possibilidade de obter soluções exactas, podendo até surgir movimentos caóticos... Neste seminário vamos partir do caso geral de um sistema de $n$ corpos, para os casos em que $n=2$ e $n=3$, e analisar em particular o problema restrito dos 3 corpos.

04/05/2004, 12:00 — 13:00 — Room P8, Mathematics Building, IST
Ana Sofia Graça, 3º ano da LMAC, IST

Distribuição Quântica de Chaves

Existe algum método seguro de duas pessoas comunicarem secretamente, usando um computador? Usam-se vários métodos de codificação na internet ou multibanco, que supomos não interceptáveis. Mas serão eles perfeitamente seguros? É de esperar que a melhoria do suporte tecnológico permita, do ponto de vista quer teórico quer prático, implementar algoritmos de codificação mais sofisticados. Em particular, com o conceito fascinante do computador quântico, põe-se a questão de quão longe se poderá ir? Neste seminário veremos o que são os sistemas criptográficos simétricos e assimétricos usados actualmente; e de que forma os postulados da mecânica quântica, e suas impressionantes consequências, permitirão arranjar uma forma perfeitamente segura de codificar mensagens.

30/03/2004, 12:00 — 13:00 — Room P8, Mathematics Building, IST
Luís Diogo, 3º ano da LMAC, IST

Do vazio aos infinitesimais - Como se constroem os números?

Num curso introdutório de Análise Matemática, os números reais são muitas vezes apresentados de forma axiomática, como elementos de um conjunto satisfazendo certas regras. Será que estes axiomas definem os reais de forma única? Será mesmo razoável supor a sua existência? Ideias da teoria de conjuntos permitem-nos estudar estas questões. Veremos até como construir um corpo ordenado que além dos reais contém números infinitesimais e infinitamente grandes. Estas novas entidades permitem-nos codificar de forma natural os comportamentos assimptóticos de sucessões.

16/03/2004, 12:00 — 13:00 — Room P8, Mathematics Building, IST
Cláudia Pascoal, 3º ano da LMAC, IST

Histórias de Nós

Conheces o nó do teu sapato, o nó da tua gravata, ou o nó da trança do teu cabelo? Achas que todos os nós são iguais? A Teoria dos nós ajuda-nos a responder a estas questões que aparentemente são simples. No entanto, a resposta nem sempre é trivial. Neste seminário iremos ver alguns aspectos importantes desta Teoria: como surgiu o seu estudo, como podemos representar os nós, distinguí-los e classificá-los.

02/12/2003, 12:00 — 13:00 — Room P8, Mathematics Building, IST
Joana Santos, 2º ano da LMAC, Instituto Superior Técnico

Muito Complexa, Muito Linear

A transformação de Möbius, $M(z)=(az+b)/(cz+d)$, é uma aplicação entre números complexos com propriedades muito interessantes e bastantes aplicações, não só na Análise Complexa, mas também em áreas tão diversas como a Geometria não Euclidiana e a Teoria da Relatividade de Einstein.

Nesta apresentação o objectivo principal será perceber como esta aplicação, também chamada transformação homográfica, bilinear ou linear fraccional, actua sobre os pontos do plano e ver de que forma uma representação matricial traz para o mundo complexo as mais valias da Álgebra Linear.

18/11/2003, 12:00 — 13:00 — Room P8, Mathematics Building, IST
Jorge Vitória, 2º ano de Matemática, UP

Decisão de primalidade: a inovação polinomial

Há séculos que os números primos são alvo de um enorme fascínio e uma fonte inesgotável de resultados. No entanto, uma questão sempre se colocou: como distingui-los dos números compostos de forma eficiente? Haverá um algoritmo capaz de o fazer em tempo polinomial? A resposta (afirmativa) viria a ser dada por três matemáticos indianos no ano de 2002... Apresentar a solução algorítmica deste problema e clarificar a inovação trazida por este resultado é o objectivo desta apresentação.

28/10/2003, 12:00 — 13:00 — Room P8, Mathematics Building, IST
Sérgio Marcelino, 3º ano da LMAC, Instituto Superior Técnico

Como somar pontos em curvas elípticas?

O estudo de curvas elípticas é fundamental na matemática moderna: na teoria de números, na famosa demonstração do último teorema de Fermat por Andrew Wiles e até na criptografia. Estamos habituados a desenhar curvas no plano do tipo \[y^2=x^3+ax+b.\] Mas será que conseguimos achar inteiros ou racionais $x$ e $y$ tais que $(x,y)$ está sobre a curva? O que podemos saber sobre estes pontos especiais? Serão finitos? Estudaremos uma “soma natural” definida nestes pontos e exploraremos algumas das suas consequências.

14/10/2003, 13:00 — 14:00 — Room P8, Mathematics Building, IST
Andreia Hortence Gomes, 2º ano da LMAC, IST

Será possível ouvir a forma de um tambor?

O som de um tambor caracteriza-se por um conjunto de frequências particulares de vibração que dependem da sua geometria. Mas poder-se-á responder à questão inversa? Isto é, será que se conhecermos as frequências de vibração de um tambor, poderemos determinar a sua forma? Ou existirão dois tambores de formas diferentes com o mesmo som? Neste seminário vamos ver como podemos responder a estas perguntas, que já se fazem desde há cerca de cem anos.

06/06/2003, 12:00 — 13:00 — Room P5, Mathematics Building
João Pina, 5º ano da LEC, IST

Wavelets

As Wavelets são funções complexas com origem numa simples e elegante construção matemática. Translações e dilatações de uma função mãe permitem representar qualquer tipo de função. Assim, como que um "upgrade" da análise harmónica, retêm informação tanto no domínio do tempo como da frequência. Ao serviço do FBI reduziram 20 vezes o arquivo de impressões digitais e têm sido utilizadas em áreas tão distintas como o processamento de imagens, "noise cleaning", equações diferenciais ou análise de estruturas.

12/05/2003, 12:00 — 13:00 — Room P5, Mathematics Building
Ricardo Joel, 3º ano da LMAC, IST

O Grupo Fundamental

À primeira vista pode parecer uma observação trivial que uma superfície esférica é essencialmente diferente de um toro (a superfície de um donut). No entanto, como é que podemos distinguir de forma concreta aqueles dois objectos? E como encontrar ideias matemáticas que façam essa distinção?

A topologia algébrica vem em nosso auxílio para responder a questões desta natureza e neste seminário vamos descobrir algumas potencialidades de uma das suas ferramentas mais simples e importantes: o grupo fundamental.

24/03/2003, 12:00 — 13:00 — Room P5, Mathematics Building
Hugo Tavares, 3º ano de Matemática FCUL

A unicidade de solução de uma equação não linear

No estudo das equações diferenciais não lineares com condições de fronteira, em geral é difícil deduzir a unicidade da solução. Este seminário é o resultado do estudo de um célebre artigo de M.K. Kwong (1989), onde se estabelece um tal teorema de unicidade.

Vamos dar uma ideia de como se resolve o problema e mostrar que, talvez surpreendentemente, os requisitos para efectuar essa prova são muito poucos, apesar da complexidade de algumas definições.

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What is it?
A student seminar.
For whom?
For everyone interested in Mathematics.
About what?
Mathematics, in general.

Contacts and further information: https://math.tecnico.ulisboa.pt/diagonal/

Fundação Calouste Gulbenkian