Diagonal Seminar  

Os números primos representam um dos conceitos mais fascinantes da Matemática. A primeira pergunta que podemos fazer sobre os números primos é se haverá uma boa maneira de os encontrar. Como é que, dado um número n, podemos saber se n é primo? Poderá um computador responder a esta pergunta de forma eficiente? A resposta não é simples, e como veremos, o método básico que todos conhecemos não pode ser aplicado de forma "eficiente" em números muito grandes. Mas haverá algum "bom" algoritmo que responda a esta questão? Neste seminário exploraremos alguns testes de primalidade conhecidos, e encontraremos várias respostas à nossa pergunta. Mas preparem-se, pois as respostas podem não ser aquilo que nós esperávamos...

Este seminário apresenta os matemáticos à música e os músicos à matemática. Hoje em dia, a matemática é aprendida pela maioria, desde cedo na escola, por obrigação e com desinteresse, enquanto que a música, por seu lado esteve sempre ligada às emoções e à vida! Será que não podemos ligar estes dois mundos? Leibniz disse um dia: "música é o prazer que a mente humana experimenta quando conta, sem se aperceber que está a contar". Tentaremos ouvir a música dos primos e, preenchendo os espaços de silêncio entre compassos da música iremos talvez encontrar uma harmoniosa melodia entre o artístico e o científico.

A Mecânica Estatística surge como a teoria que faz a ligação entre o mundo microscópico (regido pelas leis da Mecânica) com o mundo macroscópico (regido pelas leis da Termodinâmica) pela utilização de princípios da teoria das probabilidades. Esta teoria foi formulada por Ludwig Boltzmann e Josiah Gibbs e é indubitavelmente um dos pilares da ciência moderna dado o seu sucesso na descrição de sistemas físicos em equilíbrio como por exemplo: radiação de corpo negro, transições de fase, condensação de Bose-Einstein, teoria dos sólidos... Durante 100 anos, praticamente a teoria permaneceu como a única descrição possível para ligar o mundo microscópico ao macroscópico apesar das suas conhecidas limitações. Em 1988, Constantino Tsallis propôs uma nova entropia, o que inaugurou uma nova área de investigação denominada Mecânica Estatística Não-extensiva. Esta última tem sido aplicada no tratamento de sistemas onde a Mecânica Estatística na formulação de Boltzmann-Gibbs falha ou é utilizada de maneira *ad hoc*. Embora sua aplicação principal continue a ser a determinação das variáveis termodinâmicas a partir de teoria de probabilidades e das leis da Mecânica, esta teoria não somente tem tido sucesso na explicação de fenómenos físicos fora do equilíbrio (sistemas onde não é possível definir temperatura), em meta-equilíbrio ou com elevada correlação entre as partes constituintes do mesmo, bem como em áreas da linguística, biologia, economia, o que alarga a concepção inicial da utilização da Mecânica Estatística. Neste seminário, propõe-se mostrar como princípios da teoria de probabilidades podem ter papel fundamental na descrição de sistemas tão distintos como sistemas biológicos, físicos e económicos. Partindo-se do significado de eternidade e universalidade de uma lei física, pretende-se também discutir o que seria uma generalização da mesma.

A entropia é um conceito muito importante na Física, utilizada para se estudar a organização ou quantidade de informação de um sistema, suas correlações e até sua evolução e dinâmica. Em 1988 o físico greco-brasileiro Constantino Tsallis propôs o que se mostrou ser uma das mais promissoras e úteis entropias para sistemas "não-Boltzmannianos". Essa entropia utiliza uma função matemática chamada de q-exponencial, relacionada com q-gaussiana e q-logaritmo. Neste seminário será feita uma introdução a esses conceitos, com ênfase na q-exponencial e suas implicações.

Neste seminário vamos abordar alguns dos algoritmos utilizandos actualmente na geração de números pseudo-aleatórios. Iremos discutir as principais características de cada um destes algoritmos, bem como o tipo de aplicações onde cada um é passível de ser utilizado. Se queres saber o que distingue um gerador criptograficamente seguro de um eficiente para simulações, aparece!

Criámos um simulador de bilhar, onde em vez de pontos temos bolas com raio. Mas depois pensámos: se as bolas têm raio, porque não massa? E se tiverem massa suficiente para se atrairem umas às outras devido a forças graviticas? Pusemos mãos à obra, e o resultado foram bolas de bilhar em órbita. Convidamo-vos então a assistir a um seminário pouco convencional de teoria de bilhares.

E se no secundário nunca tivéssemos ouvido falar de senos e co-senos? A verdade é que desde cedo nos habituamos à célebre tabela de senos/co-senos/tangente para determinados valores e para todos os outros usámos a nossa calculadora científica. Mas a verdade como sabemos é que estas funções circulares são dadas por séries. Mas isto trata-se de uma inovação em matemática. Como poderiam os gregos na antiguidade resolver alguns dos problemas para nós triviais? Uma possível resposta poderia ser: Através de quadrâncias e aberturas e a criação de toda uma geometria racional. Se não sabe o que é, convido-o a assistir a este seminário e julgar por si mesmo as vantagens e desvantagens desta abordagem.

Um problema em aberto durante 2 décadas, uma fórmula misteriosa e uma medalha Fields são alguns dos ingredientes da história que nos propomos contar. O problema é o da quantização e neste seminário vamos seguir o caminho que Kontsevich percorreu por entre várias áreas da Matemática e da Física, até obter a sua solução mágica.

Há séculos que todos somos perseguidos por padrões, quer sejam as pedras da calçada, uma linha de divisão dos sentidos de trânsito, ou até mesmo nas pegadas que deixamos no chão… pelo menos é o que dizia Conway. Estes já se enraizaram na cultura de povos, como podemos ver em várias Mesquitas, e mesmo em muitos Azulejos portugueses. E embora nos pareçam muitos os padrões (no plano) que nos rodeiam, de facto só existem 17! Encoraja-se os mais ousados a inventarem um 18º. E ao fazer pegadas no chão repetindo os passos a cada 2 metros? Neste caso podemos encontrar somente 7 tipos diferentes de rastos. Fortemente ligado a padrões estão ainda os conceitos de isometria, e de simetria, que nos ajudam a compreender o que acontece no plano. Poderemos então ver os vários padrões que existem destacando as suas simetrias, e o modo como estes são gerados.

Esta apresentação tem como objectivo ser uma introdução elementar a um dos problemas famosos ainda não resolvidos da matemática: a conjectura de Kakeya. A formulação deste problema enquadra-se na Teoria Geométrica da Medida, mas verificou-se nas últimas décadas ter importantíssimas ligações com variadas outras áreas da matemática, em particular com Análise Harmónica. Falaremos de conjuntos de Besicovitch e Kakeya, explicando a sua construção, a qual nos motivará para o enunciado actual da conjectura. Tentaremos dar também uma ideia das importantes aplicações e interdependência com outras áreas da matemática.

Neste seminário, em seguimento do seminário anterior, procuramos construir o teorema de classificação dos espaços de revestimento de um certo espaço topológico X, através do seu grupo fundamental.

Pouco formais e conceptualmente claros, tentaremos apresentar a ideia de uma das ferramentas mais básicas, utilizadas em topologia: o Grupo Fundamental. Apresentamos também, em paralelo, o conceito de Espaço de Revestimento E perguntamos: para que é que isto serve? Qual a relação entre os dois conceitos?

Uma partição de um número positivo é uma forma de o escrever como a soma (não ordenada) de inteiros positivos. Quantas partições terá um dado inteiro? A teoria das partições de inteiros dá-nos a resposta a esta pergunta aparentemente simples (um aluno da primária sabe resolvê-la para inteiros "pequenos"). Neste seminário faremos uma introdução a esta teoria começando pelos teoremas mais antigos, demonstrados por Euler. Veremos ainda outros teoremas e suas demonstrações recorrendo a ferramentas como as funções geradoras.

Imagine que é o concorrente finalista do concurso “1, 2, 3” e é-lhe dado a escolher uma de três portas, uma das quais esconde um carro e as restantes, cabras. Você escolhe uma (digamos, a porta 1) e o apresentador, que sabe o que elas escondem, abre outra (digamos a porta 3), revelando uma cabra. Há a hipótese de trocar de porta, ou seja, da 1 para a 2. Será vantajoso para si efectuar essa troca? E caso o apresentador não saiba o que se encontra atrás de cada uma das portas? E se você tiver acesso às probabilidades de cada uma das portas esconder o carro? E se o apresentador não for imparcial e viciar o jogo? O que fazer para ganhar o carro?

Os sistemas de votação nas sociedades modernas baseiam-se na noção de ``voto útil'', em que cada cidadão pode, com o seu voto, ajudar a eleger o candidato da sua preferência. Contudo, quantas vezes é que já nos sentimos surpreendidos pelo resultado de uma eleição? Será que estamos mesmo a eleger o candidato preferido pela maioria do eleitorado?\\ Ao longo deste seminário vamos ver vários sistemas de votação possíveis e a possibilidade de existir um sistema perfeito.

Actualmente já são conhecidas relações entre categorias e quantales. Agora, imagine-se que se definia uma estrutura adicional em cada uma destas noções, aparecendo desta forma a definição de categoria métrica e quantale métrico. Existem categorias e quantales métricos? Temos ferramentas que permitam construir alguns destes quantales? Qual a relação entre estas novas estruturas?

Algoritmos mais rápidos, segurança perfeita, computação em paralelo e teleportação são algumas das (surpreendentes!) possibilidades que a computação quântica nos traz.\\ Neste seminário apresentaremos o modelo de computação quântica, algumas das suas vantagens/desvantagens e abordaremos também a questão da segurança, nomeadamente o protocolo BB84.

Desde há muitos séculos, têm sido inúmeras as discussões sobre as causas da guerra e outros conflitos. Neste seminário vão ser apresentados modelos matemáticos que tentam responder a este problema, partindo dos trabalhos de L.F. Richardson e F.W. Lanchester. Mais que tecer considerações científicas sobre política externa ou prever a data da próxima guerra, estes modelos tentam fazerma previsão do que as pessoas eventualmente farão, se não pararem para pensar.

A noção de variedade diferenciável como estrutura geométrica começou por ser introduzida por Riemann, em meados do século XIX. No inicio do século XX, as ideias da teoria da relatividade ajudaram a clarificar o conceito e atribuiram-lhe uma nova utilidade. Nesta palestra pretende-se seguir um pouco a perspectiva fisica que motiva a definição que conhecemos do conceito de variedade diferenciável e explorá-la com o exemplo da relatividade restrita.

Quantos pontos de coordenadas racionais tem uma recta? E uma circunferência? Existem sequer? Estas perguntas simples por vezes têm respostas não tão triviais. Hoje em dia, a Álgebra e a Geometria têm respostas para estas perguntas, e algumas delas são bastante surpreendentes. Será mostrado um método eficaz de ver se uma recta ou circunferência têm ou não pontos racionais.