Diagonal Seminar  

O problema da quadratura do círculo consiste em, dado um círculo, construir usando régua e compasso um quadrado com a mesma área. Surgido há cerca de 2000 anos na Grécia Antiga, foi estudado por grandes nomes da matemática como Anaxágoras e Ramanujan. Este seminário será uma conversa sobre este problema, onde mostraremos como resolvê-lo utilizando os números construtiveis e os números algébricos.

Em diversas áreas da matemática temos um cenário semelhante: estudam-se objetos matemáticos e funções entre eles. Será possível abstrair este processo numa teoria final sobre toda a matemática? E que verdades gerais surgiriam de tal teoria? A teoria das categorias traz algumas respostas. Neste seminário veremos alguns conceitos básicos desta teoria e uma variedade de exemplos. Em particular, veremos em que sentido a soma direta de espaços lineares é como o mínimo múltiplo comum de dois naturais.

Uma das ferramentas mais bem sucedidas para treinar redes neuronais artificiais é o algoritmo de retropropagação. Contudo, este é considerado biologicamente implausível e muitos acreditam que a próxima geração de redes neuronais deveria fundamentar-se num melhor entendimento da aprendizagem biológica. Este seminário diagonal será uma conversa sobre como criar algoritmos de aprendizagem supervisionada para treinar redes neuronais que se baseiem no fenómeno biológico.

É comum comparar a matemática com um edifício, e nesta analogia o matemático é o pedreiro, cabendo-lhe expandir e melhorar esta oitava maravilha do mundo. Este seminário diagonal será uma conversa sobre este belíssimo monumento, com especial atenção para as fundações, parte essencial de qualquer construção.

A história da correspondência de McKay começa com os grupos finitos de simetrias da esfera e com o problema de os classificar (na resposta aparecem os conhecidos sólidos Platónicos!). Em 1980 John McKay mostrou como associar a estes grupos finitos um certo grafo, e observou que cada grupo correspondia a um diagramas de Dynkin, objetos que aparecem em áreas aparentemente distantes como a classificação dos grupos de Lie.

Mais interessante é que o grafo de McKay pode também ser encontrado estudando singularidades da forma \(\mathbb C^2/G\) e as suas resoluções. No final veremos como, desta perspetiva, esta correspondência pode ser generalizada a dimensões superiores e mencionamos como é uma consequência de um problema importante em geometria algébrica: a conjetura da resolução crepante.

Desde cedo que, como sociedade, percebemos que é muito importante estabelecermos um espírito de entre-ajuda para potenciar a evolução.

À partida, quando um organismo tem de tomar uma decisão o mais óbvio seria fazer o que lhe traz mais proveito a si próprio, no entanto vê-se em muitas comunidades que há elementos que contribuem mais mesmo que à partida não ganhem tanto com isso, para que toda a população possa ter mais ganho. Através da Teoria de Jogos, uma ferramenta de apoio à decisão, como podemos motivar a cooperação e maximizar o sucesso de uma organização?

Método Probabilı́stico é uma técnica combinatória, usada quando queremos encontrar objetos com certas propriedades. Consiste em construir esses objetos de forma aleatória e provar que eles têm uma probabilidade positiva de verificar o que se quer.

Ométodo foi introduzido por Paul Erdős em 1947 e tem-se revelado útil na resolução de problemas muito variados. Estimulou interesse em argumentos probabilı́sticos que agora são usados em áreas de Fı́sica Estatı́stica e Computer Science.

Nestapalestra será dada uma introdução do método e como dele podemos extrair algoritmos determinı́sticos, ilustrado com aplicações a problemas. Será ainda feita uma apresentação de modelos probabilı́sticos em grafos.

Com o avanço da tecnologia tornou-se possível armazenar grandes volumes de dados. Estes conjuntos de dados providenciam mais informação sobre os objectos de interesse, porém também apresentam desafios ao nível computacional e da compreensão de toda a informação disponível.

O problema proposto por uma empresa consistia em entender os padrões dos utilizadores e serviços e detectar quando é que estes apresentam um padrão anómalo. Neste seminário falar-se-á das dificuldades enfrentadas por este tipo de dados e das metodologias desenvolvidas para completar os objectivos, introduzindo as noções de análise de dados simbólicos, métodos de clustering, métodos de detecção de anomalias, e robustez.

Os números primos são elementos da Matemática bastante importantes em inúmeras áreas e a sua procura pelos números naturais trata-se de uma das tarefas mais difı́ceis da teoria de números.

O objetivo deste seminário é começar por analisar o postulado de Bertrand, que diz que existe sempre um primo entre $n$ e $2n$, $n\in\mathbb{N}$, vendo depois algumas aplicações, de forma a iniciar o caminho das grandes conjeturas da teoria de números.

A geometria algébrica é uma área da matemática que permite aliar o caráter abstrato da álgebra com a natureza mais concreta e palpável da geometria e desta maneira conseguir transformar problemas algébricos muito complicados em problemas geométricos mais fáceis de visualizar. Porém, o caminho inverso também é interessante: dado um dilema geométrico como o estudo de curvas no plano, será que a álgebra poderá revelar algo mágico sobre o nosso objeto de estudo? É esta a visão que tentaremos usar nesta apresentação: partindo do problema de determinar se uma curva algébrica tem pontos racionais, veremos como naturalmente chegaremos às curvas elípticas: uma classe de curvas que, apesar do aspeto enganadoramente simples, aparecem de forma inesperada pela matemática.

Desde sempre que os matemáticos se preocupam com medir ou calcular o “tamanho” dos objetos e também há muito tempo se sabe que o “tamanho” está intrinsecamente relacionado com a dimensão. Por exemplo, uma linha (dimensão 1) tem comprimento positivo, mas tem área e volume zero. Um quadrado (dimensão 2) por outro lado, tem uma área positiva, mas tem volume zero. Porém, a natureza está repleta de conjuntos estranhos, como é o caso do triângulo de Sierpinski que tem perimetro infinito e área zero! Qual é então a dimensão deste objeto? Para responder a esta pergunta é necessário dar uma nova definição de dimensão, esta tem o nome em honra de Felix Hausdorff.

No início do século XX, alguns matemáticos ambicionavam pôr a matemática sobre uma funação o mais sólida possível. Vários sistemas axiomáticos foram propostos, mas o que acabou por se tornar "canónico" foi o sistema axiomático de Zermelo-Fraenkel, mais axioma da escolha. Isto é normalmente referido como ZFC. Na realidade, a formulação original (ZF) não tinha o axioma da escolha. Tomar este axioma como verdadeiro leva a conclusões contra-intuitiuvas, mas muitos teoremas de aparência autoevidente não podem ser provados somente com ZF.

Isto parece referente a assuntos extremamente abstratos e teóricos, mas nesta palestra tenciona-se mostrar que não é preciso enunciados super complexos e teóricos para que estas questões sejam relevantes: é tão fácil como dar chapéus a infinitos matemáticos.

Em 1900, Hilbert apresenta o seguinte problema: dado um conjunto de singularidades e um grupo de monodromia, é possível associar-lhe sempre um sistema de equações diferenciais Fuchsiano? Esta questão deu origem a uma nova classe de problemas, a dos Problemas de Riemann-Hilbert, que podem ser encontrados em diversas áreas como electromagnetismo, sistemas integráveis, polinómios ortogonais e matrizes aleatórias.

Nesta apresentação serão abordados três tópicos principais: em que consiste um problema de Riemann-Hilbert, o que são sistemas integráveis e como obter soluções explícitas das Equações de Campo de Einstein resolvendo um problema desse tipo.

Como ciência absolutamente transversal a todas as outras áreas do saber, a matemática revela-se fundamental naquela que é a ciência da programação. Por outro lado, verifica-se que também a programação se revela capaz de servir a matemática em variadíssimas situações. Como jovem curioso já tive oportunidade de pôr a matemática ao serviço da programação e vice-versa, e é precisamente disso que vou dar testemunho, esperando despertar o interesse para esta ponte entre duas artes que se mascaram de ciências.

Combinatória geométrica é um ramo da geometria que estuda propriedades combinatórias de objetos geométricos. Partindo de objetos tradicionais da geometria como pontos, arestas e polígonos, ela preocupa-se com questões como, por exemplo, coloração de vértices e propriedades combinatórias que resultem dela ou a forma mais eficiente de, por exemplo, cobrir o plano com círculos unitários. Nesta sessão será feita uma introdução mais prática da combinatória geométrica e das ideias usadas. Apresentar-se-ão problemas que parecem inicialmente fora do nosso alcance mas cuja resolução envolve apenas ideias elementares.

O Paradoxo de Fermi, Pasta e Ulam tem assombrado cientistas há mais de 50 anos. Foi com ele que nasceram as simulações computacionais e a matemática experimental; mas esteve também na origem de um estranho enigma, apresentando-nos um sistema que aparentemente viola a equipartição de energia. O leque de soluções apresentadas desde o seu advento é extenso e rico, envolvendo conceitos como teorema KAM, caos, solitões, teoria ergódica, espaço de fases, ressonâncias... Esta análise profunda contribuiu para que se tenha tornado um problema de gaveta. Hoje, tendo acesso a um poder computacional muito superior e transportando nos ombros uma vasta bibliografia, deparamo-nos com um novo problema. Recuperando o sistema original e excitando-o com diferentes condições iniciais do que aquelas escolhidas por Fermi, surge um fenómeno completamente inesperado: uma transição espectral abrupta no lugar de uma relaxação lenta para o equilíbrio.

Vivemos na era da informação, onde os dados são abundantes e em grandes dimensões, sendo o seu tratamento o maior desafio.
    
O método das projecções aleatórias revela-se uma alternativa eficiente para a redução da dimensão dos dados numa ordem de grandeza significativa.
    
As aplicações desta técnica são diversas, entre as quais se destacam os problemas de classificação, agrupamento e regressão.
    
Apresentaremos o método de construção de projecções aleatórias e aplicações a dados simulados computacionalmente bem como a dados de doentes de leucemia linfoblástica aguda, procurando um modelo de regressão que os explique.

As diversas regiões produtoras de café têm climas, topográficas e práticas agrícolas distintas, conferindo características singulares que se traduzem na qualidade e no preço do café. Desta forma, a necessidade de validar e confirmar a origem do grão verde de café importado tem crescido ao longo dos anos. Neste seminário será abordado o problema da diferenciação geográfica do grão verde de café, recorrendo a análise estatística de dados reais acerca de características químicas do grão verde de café (com base em razões isotópicas).

Começaremos por rever conceitos básicos de Teoria da Medida que nos permitem então compreender alguns teoremas clássicos da Teoria Ergódica. Ao longo da exposição desses teoremas veremos a causa do surgimento desta teoria e o porquê do seu nome. Por fim introduzimos o conceito de Expoentes de Lyapunov com o objectivo de relacioná-lo com os teoremas anteriormente apresentados e descrever algumas das suas propriedades conhecidas e por descobrir.

Uma maneira de definir um grupo é dando um conjunto de geradores e um conjunto de relações entre esses geradores, ou seja, uma sua apresentação. Passaremos um pouco por grupos livres e veremos com homomorfismos entre apresentações quando é que duas apresentações poderão ser equivalentes. Depois introduziremos as simplicíssimas equivalências de Tietze e, relacionado com elas, demonstraremos o interessante teorema de Tietze, que mostra que estas transformações estão na base de todas as equivalências entre apresentações finitas. Pelo meio demonstraremos um lema usando uns objectos engraçados: quadrados.