GEOMETRIA II - 2º
Semestre de 2003/2004
Responsável: José Natário
Aulas Teóricas: Segundas das 11:00 às 12:30 na
sala Q5.3 e Quartas das 8:00 às 9:30 na sala V002
Aulas Práticas: Quintas das 12:00 às 14:00 na sala
V114
Aulas de dúvidas: Quartas das 14:30 às 17:00 no
meu gabinete
Avisos e Pautas
- Já afixei as notas dos
testes de repescagem (bem
como as notas
finais).
- Vejam aqui a versão mais recente da pauta.
Folhas
- Folhas PS,
PDF
(última
actualização: 29 de Maio de 2006)
Links
Exames
- 1º teste para praticar: PS,
PDF;
- 1º teste: PS,
PDF;
- 2º teste para praticar: PS,
PDF;
- 2º teste: PS,
PDF;
- Repescagem do 1º teste: PS,
PDF;
- Repescagem do 2º teste: PS,
PDF.
- Podem encontrar exames para praticarem nestas
páginas.
Exercícios
Os números dos exercícios referem-se à
versão actual das folhas (última
actualização: 30 de Julho de 2004).
- Semana 1 (a entregar até à aula prática de
Quinta-feira dia 11 de Março): Cap. 1, Sec. 2, Ex. 6 e 9; Cap.
1, Sec. 3, Ex. 6. Opcionais: Cap. 1, Sec. 2, Ex. 10; Cap. 1, Sec. 3,
Ex. 2.
- Semana 2 (a entregar até à aula prática de
Quinta-feira dia 18 de Março): Cap. 1, Sec. 4, Ex. 2, 7 e 8;
Cap.
1, Sec. 5, Ex. 3 e 5. Opcionais: Cap. 1, Sec. 5, Ex. 8.
- Semana 3 (a entregar até à aula prática de
Quinta-feira dia 25 de Março): Cap. 1, Sec. 6, Ex. 3, 7 e 8.
Opcionais: Cap. 1, Sec. 6, Ex. 11.
- Semana 4 (a entregar até à aula prática de
Quinta-feira dia 1 de Abril): Cap. 1, Sec. 7, Ex. 7.
Opcionais: Cap. 1, Sec. 7, Ex. 11 e 13.
- Semana 5 (a entregar até à aula prática de
Quinta-feira dia 15 de Abril): Cap 2, Sec. 2, Ex. 6, 7 e 10. Opcionais:
Cap 2, Sec. 2, Ex. 2 e 12.
- Semana 6 (a entregar até à aula prática de
Quinta-feira dia 22 de Abril): Cap 2, Sec. 3, Ex. 2; Cap 2, Sec. 4, Ex.
1 e 2.
- Semana 7 (a entregar até à aula prática de
Quinta-feira dia 6 de Maio): Cap 3, Sec. 4, Ex. 4 e 5. Opcional: Cap 3,
Sec. 4, Ex.
2.
- Semana 8 (a entregar até à aula prática de
Quinta-feira dia 13 de Maio): Cap 3, Sec. 5, Ex. 2.
- Semana 9 (a entregar até à aula prática de
Quinta-feira dia 20 de Maio): Cap 3, Sec. 5, Ex. 1 e 3.
- Semana 10 (a entregar até à aula prática de
Quinta-feira dia 27 de Maio): Cap 4, Sec. 1, Ex. 2; Cap 4, Sec.
2, Ex. 2 (b).
- Semana 11 (a entregar até à aula prática de
Quinta-feira dia 3 de Junho): Cap 4, Sec. 3, Ex. 3.
- Semana 12 (a entregar até Sábado dia 12 de Junho):
Cap 4, Sec. 4, Ex. 2; Cap 4, Sec. 5, Ex. 1.
Podem encontrar mais exercícios
nas páginas correspondentes
a
Programa
- Variedades: Variedades diferenciáveis;
aplicações diferenciáveis;
espaço tangente; imersões e mergulhos; campos
vectoriais, fluxos de campos vectoriais, parêntesis de Lie;
grupos de Lie; revisão de orientabilidade, variedades com bordo,
formas
diferenciais, integração em variedades e teorema de
Stokes; campos tensoriais.
- Métrica: Variedades Riemannianas,
isometrias, métricas invariantes à esquerda;
conexões afins,
conexão de Levi-Civita; geodésicas, propriedades
minimizantes de geodésicas; teorema de Hopf-Rinow.
- Curvatura: Tensor de
curvatura, curvatura seccional, tensor de Ricci, curvatura escalar;
formas de
conexão
e de curvatura, equações estruturais de
Cartan; curvatura de Gauss; imersões isométricas de
superfícies no espaço de dimensão três,
aplicação de Gauss, curvaturas média e de Gauss,
teorema de Gauss, primeira e segunda formas fundamentais.
- Aplicações:
Índice de um campo vectorial numa
singularidade;
característica de Euler; teoremas de
Gauss-Bonnet e de Morse; Relatividade Geral.
Bibliografia
- Manfredo Perdigão de Carmo, Geometria Riemanniana,
IMPA (1988);
- Manfredo Perdigão do Carmo, Differential Forms and Applications,
Springer (1994).
-
Avaliação
- Testes: Haverá dois testes com a
duração de 1h30m, a realizar nas aulas práticas.
Cada teste terá um peso de 35% na nota final.
O primeiro teste realizar-se-á na aula prática de
Quinta-feira dia 29 de Abril.
O segundo teste realizar-se-á na última semana de
aulas.
Na semana seguinte a esta,
os alunos poderão repetir um dos testes para efeito de melhoria
de nota.
- Aulas práticas e trabalhos de casa: Todas as
semanas haverá uma lista trabalhos para casa, afixada na
página da cadeira, para entregar na aula prática da
semana seguinte. Nas aulas práticas os alunos
apresentarão e discutirão os exercícios da lista
de problemas
da semana anterior. Ao conjunto dos trabalhos de casa e do trabalho
desenvolvido nas aulas práticas será atribuído uma
nota, com o peso de 30% na nota final.
