ANÁLISE MATEMÁTICA III - 1º
Semestre de 2003/2004 - Turma Especial
Responsável: José Natário
Aulas Teóricas: Segundas, terças e sextas
das 11:00
às 12:00 na sala 3.10
(3º piso do Departamento de Matemática)
Aulas Práticas: Sextas das 8:00 às 10:00 na sala
3.10 (3º piso do Departamento de Matemática)
Aulas de dúvidas: Basta aparecerem no meu gabinete
(4º piso do Departamento de Matemática).
Costumo estar por aqui todo o dia. Para
terem a certeza que estou podem telefonar ou mandar-me um
email a dizer que vêm.
A turma especial destina-se a dar aos alunos de Análise
Matemática III mais bem preparados a oportunidade de seguir um
curso que, tratando os mesmos tópicos que o curso geral, o
faz de um modo mais avançado e com uma abordagem mais
conceptual (ver descrição detalhada abaixo).
Uma
página da autoria do João
Pimentel indicando algumas das coisas para que serve o que se
estuda em Análise Matemática III.
Avisos e Pautas
- Vejam aqui a versão mais recente da pauta
(incluindo as notas obtidas no curso
normal; o factor de
conversão para a nota das aulas práticas foi de 120%).
- Podem ver a construção da superfície de Boy aqui.
Podem ver uma galeria de superfícies (incluindo a
superfície de Boy, a garrafa de Klein e muitas outras) aqui.
Folhas
Links
Exames
Exercícios
- Ficha 1 (a entregar até à aula prática de
sexta-feira dia 26 de Setembro) PS, PDF
- Ficha 2 (a entregar até à aula prática de
sexta-feira dia 3 de Outubro) PS, PDF
- Ficha 3 (a entregar até à aula prática de
sexta-feira dia 10 de Outubro) PS, PDF
- Ficha 4 (a entregar até à aula prática de
sexta-feira dia 17 de Outubro) PS,
PDF
- Ficha 5 (a entregar até à aula teórica de
segunda-feira dia 27 de Outubro) PS, PDF
- Ficha 6 (a entregar até à aula prática de
sexta-feira dia 31 de Outubro) PS, PDF
- Ficha 7 (a entregar até à aula teórica de
segunda-feira dia 10 de Novembro) PS,
PDF
- Ficha 8 (a entregar até à aula teórica de
segunda-feira dia 24 de Novembro) PS,
PDF
- Ficha 9 (a entregar até à aula teórica de
segunda-feira dia 24 de Novembro) PS, PDF
- Ficha 10 (a entregar até à aula prática de
sexta-feira dia 28 de Novembro) PS, PDF
- Ficha 11 (a entregar até à aula prática de
sexta-feira dia 5 de Dezembro) PS, PDF
- Ficha 12 (a entregar até à aula teórica de
segunda-feira dia 15 de Dezembro) PS, PDF
- Ficha 13 (não
precisam de entregar) PS, PDF
- Exercícios sobre o Integral de Lebesgue PS, PDF
- Ficha Extra 1 - Partições da Unidade (não
precisam de entregar) PS,
PDF
- Ficha Extra 2 - Corpo Rígido (não
precisam de entregar) PS, PDF
- Ficha Extra 3 - Termodinâmica dos
Gases Ideais (não precisam de entregar) PS, PDF
- Ficha Extra 4 - Curvas no Espaço (não precisam de
entregar) PS, PDF
- Ficha Extra 5 - Geodésicas e Curvatura de
Superfícies (não precisam de entregar) PS, PDF
- Ficha Extra 6 - Equações de Maxwell (não
precisam de entregar) PS, PDF
- Ficha Extra 7 - Mecânica de Fluidos (não precisam
de entregar) PS, PDF
- Ficha Extra 8 - Relatividade e Electromagnetismo (não
precisam de entregar) PS, PDF
Podem encontrar mais exercícios
(muitos resolvidos) nas páginas de AMIII correspondentes
a
Programa
O programa consiste no estudo de integração e
diferenciação de funções de várias
variáveis, incluindo a integração de formas
diferenciais em variedades mergulhadas em Rn. O objectivo
fundamental é a demonstração do Teorema de Stokes.
Eis um calendário aproximado (optimista):
- Parte I Variedades em Rn
- Semana 1. Derivação em Rn,
matriz jacobiana, regra da cadeia
- Semana 2. Teoremas da função inversa e da
função implícita
- Semana 3. Variedades, gráficos e conjuntos de
nível, extremos condicionados
- Parte II Integração em Rn
- Semana 4. Integral de Riemann, critério de
integrabilidade, teorema de Fubini
- Semana 5. Mudança de variáveis, coordenadas
polares, cilíndricas e esféricas
- Parte III Formas Diferenciais
- Semana 6. Covectores, álgebra multilinear,
tensores alternantes, álgebra exterior
- Semana 7. Formas diferenciais, "pull-back", derivada
exterior
- Semana 8. Formas fechadas, formas exactas, lema de
Poincaré
- Parte IV Integração em Variedades
- Semana 9. Orientação,
integração de formas, integral de linha, fluxo
- Semana 10. Teorema de Stokes, teoremas fundamentais
do cálculo vectorial
- Semana 11. Cálculo vectorial em R3,
homotopia, co-homologia
Parte V Integral de Lebesgue
Semana 12. Conjuntos mensuráveis, medida de
Lebesgue, funções mensuráveis, integral de Lebesgue
Semana 13. Teoremas de convergência, regra de
Leibnitz
Bibliografia:
- Apostol, Mathematical Analysis, Addison-Wesley (1974);
- Fleming, Functions of Several
Variables, Springer-Verlag (1977);
- Lages Lima, Curso de Análise - Vol. 2, IMPA (1989);
- Magalhães, Integrais Múltiplos, Texto Ed.
(1996);
- Magalhães, Cálculo em Variedades e
Aplicações, Texto Ed. (1993);
- Spivak, Calculus on Manifolds, Benjamin (1965).
-
Avaliação
A avaliação tem duas componentes. A primeira componente
é a média das notas dos 10 melhores trabalhos de
casa
a entregar semanalmente e tem peso de 40%. A segunda
componente é a nota dos testes/exames com peso de 60%.
A dificuldade tanto dos exames como dos trabalhos de casa
será bastante superior à do curso normal e mesmo dos
cursos de Matemática e Física.
Os trabalhos de casa para a semana seguinte são afixados nesta
página. As aulas práticas consistem na
exposição e discussão pelos alunos dos trabalhos
de casa. Os
alunos são encorajados a trabalhar em grupo e a discutir
os trabalhos de casa entre si mas cada um deve escrever assuas
respostas individualmente. A qualquer momento (incluindo no
período de exames) os alunos poderão decidir mudar para o
curso
geral sem por isso serem penalizados. A nota referente às aulas
práticas será transmitida aos responsáveis do
curso correspondente, que já concordaram em
utilizá-la no seu esquema de avaliação.
Para consultar páginas de Análise Matemática
III deste e outros anos cliquem
aqui