ACED e o
Avião Invisível
Na fotografia abaixo vê-se
o
Lockheed F-117 Nighthawk, o famoso Avião Invisível
(desenhado
pela
Lockheed
Martin Skunk Works). Em quase todos os aspectos do desenho deste
avião
foi usada matemática ensinada em ACED. Por exemplo:
- Cálculo da força de
sustentação:
O F-117 tem uma forma característica muito pouco convencional,
necessária
para reduzir dramaticamente o seu eco de radar. Nunca nenhum
avião
de forma sequer remotamente parecida tinha sido testado. Poder-se-ia
pensar
que à partida não era claro que algo com esta forma
pudesse
voar. No entanto, os desenhadores não só sabiam que sim
como
tinham uma ideia bastante precisa de qual a força de
sustentação
que as asas gerariam - isto quando o avião não passava
ainda
de rabiscos em papel! Para velocidades inferiores a 30% da velocidade
do
som e pequenos ângulos de ataque (i.e., inclinação
da asa em relação à horizontal), por exemplo, as
distribuições
de pressão ao longo da asa podem ser muito aproximadamente
calculadas
usando métodos de análise complexa. Isto porque nestas
condições
o ar se comporta como um fluido incompressível de viscosidade
zero,
e as componentes da velocidade são portanto representadas por
funções
harmónicas (i.e., partes reais e imaginárias de uma
função
complexa diferenciável).
- Estabilidade e controlo: Desenhar um
avião
envolve muito mais do que decidir se ele voará ou não:
é
preciso que ele o faça de uma forma estável e controlada.
Para analisar a estabilidade do avião considera-se o que
acontece
quando este se encontra numa atitude (i.e., orientação
tridimensional)
ligeiramente desviada em relação à atitude normal
de vôo, que é em geral um ponto de equilíbrio. A
evolução
desta perturbação da atitude no tempo é
então
determinada por um sistema de equações diferenciais
lineares,
cuja solução é fundamental para decidir se o
avião
é estável ou não. De uma forma semelhante, o
efeito
das chamadas superfícies de controlo (ailerons, cauda, etc.) na
atitude do avião é descrito por equações
diferenciais,
de cuja solução depende a determinação da
controlabilidade
do avião. Devido à sua forma
peculiar, o F-117 é intrinsecamente instável, sendo
estabilizado em tempo real por pequenos ajustes nas superfícies
de controlo determinados pelo computador de bordo. Progamar o
computador para realizar estes ajustes envolve teoria do controlo, que
se baseia nao uso da Transformação de Laplace.
- Invisibilidade: O eco de radar do F-117
é aproximadamente
igual ao de um berlinde pequeno colocado à mesma
distância.
Isto é uma consequência não só do facto de
este
estar coberto por uma camada de tinta com alto coeficiente de
absorção
de ondas de radar, mas também da sua forma cuidadosamente
desenhada.
Esse desenho envolveu resolver as Equações de Maxwell
correspondentes
a uma onda plana incidindo numa estrutura multifacetada. As
Equações
de Maxwell, claro está, nada mais são que um sistema de
equações
diferenciais parciais.
(Fotografia retirada da web page da USAF)
ACED e o Tempo para
Depois
de Amanhã
A fotografia abaixo foi tirada
durante
uma tempestade sobre o Kent (Inglaterra) a 21 de Agosto 1987. A
previsão
do tempo tem hoje em dia uma grande importância, por exemplo para
ser possível avisar os habitantes de uma dada região da
aproximação
de tempestades como esta. Para o fazer é necessário saber
matemática ensinada em ACED:
- Equações exactas: As
equações
que descrevem exactamente a atmosfera formam um sistema complicado de
equações
diferenciais parciais não lineares, ditas as equações
de Navier-Stokes generalizadas. Estas equações
descrevem
a evolução de quantidades como a temperatura, a
pressão
e a velocidade do ar em função do movimento de
rotação
da Terra, do aquecimento (desigual) da superfície da Terra pelo
Sol, etc. A previsão exacta do tempo para depois de
amanhã
(por exemplo) passa pela solução aproximada destas
equações.
- Equações aproximadas:
Infelizmente,
as equações de Navier-Stokes generalizadas da atmosfera
são
demasiado complicadas para poderem ser resolvidas, mesmo que
numericamente.
O que se faz então é construir um modelo aproximado
utilizando
como variáveis os valores da temperatura, pressão,
humidade,
etc. num número finito de pontos da atmosfera. Estas
variáveis
estão relacionadas entre si, de modo que a sua
evolução
é descrita por um enorme sistema de equações
diferenciais
ordinárias de primeira ordem. Note-se que em geral o
número
de variáveis é da ordem dos milhões!... Este
sistema
é depois resolvido numericamente em supercomputadores.
- Caos: É um facto que muitos
sistemas
de equações
diferenciais ordinárias de primeira ordem (não lineares)
exibem dependência sensível nas condições
iniciais,
vulgarmente abreviado no termo "caos". O que isto significa é
que
soluções com pontos iniciais próximos se afastam
exponencialmente,
i.e., a cada unidade de tempo o seu afastamento duplica (por exemplo).
Como nas aplicações práticas é
impossível
medir exactamente o estado inicial do sistema (no nosso caso, por
exemplo,
é impossível medir a temperatura do ar num dado ponto com
precisão infinita), existe sempre uma incerteza no ponto
inicial,
incerteza essa que cresce exponencialmente se o sistema é
caótico.
As equações que regem a atmosfera parecem exibir este
tipo
de comportamento; aliás, este fenómeno ganhou notoriedade
ao ser detectado num sistema muito simples de três
equações
diferenciais de primeira ordem que representavam uma
aproximação
muito grosseira da atmosfera - as equações de Lorenz.
Daí que exista um horizonte de previsibilidade do tempo da ordem
dos
três dias - isto por muito bem que consigamos resolver as
equações.
Teoricamente, é possível prever que tempo fará
depois
de amanhã - mas não muito depois disso...
(Fotografia retirada da web page da Tornado
and Storm Research Organisation)