De momento não tenho disponibilidade para orientar projetos nem teses de mestrado

Temas para Projeto de Licenciatura

• Teoria dos Números : Esta é uma das mais antigas áreas da Matemática que infelizmente praticamente não é tocada no currículo da LMAC. Há muitos aspetos diferentes que podem ser focados num projeto. Por exemplo:
  • Curvas elípticas e o Teorema de Mordell : O Teorema de Mordell afirma que o grupo formado pelos pontos com coordenadas racionais de uma curva elíptica é finitamente gerado. Será necessário aprender resultados elementares sobre curvas elípticas. Os únicos pré-requisitos são a Análise Complexa básica tratada na cadeira de ACED. A referência principal é o livro "Elliptic Curves" de A. Knapp, Princeton University Press (1992) (apenas os primeiros três capítulos) mas há muitas outras boas referências.
  • Classificação de formas quadráticas: Este projecto pretende compreender o Teorema de Hasse-Minkowski que classifica as formas quadráticas sobre o corpo dos racionais. Os pré-requisitos são os cursos de álgebra elementar. O projecto envolve aprender a trabalhar com os números p-ádicos assim como alguma aritmética elementar. Dependendo do tempo disponível podemos também estudar a classificação das formas unimodulares sobre os inteiros ou a classificação de Arf das formas quadráticas sobre o corpo com dois elementos. Ambas as últimas têm aplicações topológicas muito interessantes. A referência sugerida é o livro "A course in arithmetic" de J.P. Serre, Springer (1973) (os primeiros 4 capítulos).
  • Teoria dos números analítica : Este projecto pretende dar uma introdução à teoria dos números analítica. Um primeiro objectivo poderia ser entender a demonstração do Teorema de Dirichlet que diz que (excluindo casos triviais) toda a progressão aritmética de números naturais contém infinitos primos. Posteriormente poder-se-ia fazer um estudo elementar das formas modulares, ou continuar o estudo das funções zeta (por exemplo entender a demonstração da equação funcional para a função zeta de Riemann). Os pré-requisitos são apenas análise complexa básica. Uma referência possível é o livro "A course in arithmetic" de J.P. Serre, Springer (1973). A equação funcional da função zeta é explicada em Ahlfors, Complex Analysis, McGraw-Hill (1979)
  • Teoria dos números algébricos: Este projecto pretende dar uma introdução à teoria dos números algébricos. Um primeiro objectivo poderia ser perceber a demonstração do teorema sobre a factorização única de ideais em anéis de inteiros algébricos e algumas aplicações. O projecto incluiria o estudo de exemplos básicos como corpos quadráticos e ciclotómicos. A referência recomendada são os capítulos 12 e 13 do livro de K. Ireland e M.Rosen, "A classical introduction to modern number theory", Springer (1990)
• Teoria das representações de grupos finitos: Outra das grandes áreas da Matemática que não é suficientemente coberta pelo currículo da LMAC é a Teoria das Representações. Inicialmente o projeto consistiria em entender a (extremamente elegante e útil) teoria básica da representação de grupos finitos: relações de ortogonalidade entre os caracteres, exemplos básicos e depois continuar para, por exemplo:
  • Os Teoremas de Artin e Brauer sobre os caracteres de representações induzidas. A referência básica é o livro "Linear representations of finite groups" de Jean-Pierre Serre, especialmente a Parte I.
  • Representações dos Grupos Simétricos : a classificação das representações irredutíveis dos grupos simétricos é descrita por certos diagramas chamados diagramas de Young. Se houver tempo podemos também estudar a relação com as representações do grupo linear geral. A referência recomendada é o livro "Representation Theory: a first course" by W. Fulton, Springer (1991) (só as primeiras quatro secções da Parte I).
• A geometria dos octoniões: Os octoniões são uma álgebra não associativa que se obtêm dos quaterniões por um processo semelhante ao que produz os quaterniões a partir dos números complexos - a construção de Cayley-Dickson. Da mesma forma que os quaterniões estão intimamente relacionados com a geometria dos espaços euclidianos de dimensões 3 e 4, os octoniões estão intimamente relacionados com a geometria dos espaços euclidianos de dimensões 7 e 8. O objetivo deste projeto seria entender estas relações e tentar usar os octoniões para descrever os isomorfismos de baixa dimensão entre os grupos de Spin de dimensões 5 e 6 com outros grupos clássicos. A referência básica é o livro de Conway e Smith "On quaternions and octonions".
• Introdução às curvas algébricas: O objectivo deste projecto seria fazer uma introdução elementar à geometria algébrica assumindo muito poucos pré-requisitos através dos exemplos mais simples - as curvas algébricas. A referência é o livro "Algebraic Curves - an introduction to Algebraic Geometry" de William Fulton. Um objetivo inicial seria entender a demonstração do Teorema de Bézout e um objetivo mais ambicioso seria entender a demonstração do Teorema de Riemann-Roch.
• Teoria de Hurwitz: O objectivo deste projecto seria perceber o Teorema de Hurwitz que calcula o número de revestimentos ramificados da esfera de Riemann para um certo número dado de pontos e índices de ramificação. A redução deste problema a um problema algébrico é um exercício muito interessante de topologia e análise complexa básicas envolvendo ainda a teoria de representação dos grupos simétricos. Uma referência inicial é a secção 2 das seguintes notas de curso de Renzo Cavalieri
• O Teorema de Ax-Grothendieck: Este Teorema é um exemplo de como afirmações relacionadas com números complexos podem por vezes ser resolvidas usando corpos finitos. A demonstração dá uma introdução a outra grande área da Matemática - a Teoria dos Modelos, que analisa classes de estruturas matemáticas usando a lógica matemática, e que se tem revelado fundamental em muitos progressos recentes em várias áreas da Matemática. O Teorema em si afirma que uma função polinomial injetiva de C^n para si próprio é necessariamente bijetiva. O Teorema generaliza-se a auto-aplicações de qualquer variedade algébrica sobre um corpo algebricamente fechado. Uma referência inicial é o blog do Terry Tao .
• Introdução à Teoria da Dimensão: A teoria da dimensão é uma área antiga da Topologia Geral que não é normalmente coberta no curso introdutório de Topologia. Estuda o conceito de dimensão de um espaço topológico. Há várias definições (condições sobre coberturas abertas, indutiva, ...) que são equivalentes para espaços razoáveis. Esta noção tem muitas aplicações em várias áreas da Matemática. Um objetivo inicial poderia ser entender o Teorema que afirma que todos os espaços compactos e metrizáveis de dimensão n podem ser mergulhados em R^{2n+1}. Um objetivo mais ambicioso poderia ser entender um exemplo de Kolmogorov de uma ação livre e própria de um grupo num espaço compacto X cujo quociente tem dimensão superior à de X. O livro do Munkres "Topology" tem uma curta introdução a este tema. Uma referência clássica é o livro "Dimension Theory" de Hurewicz e Wallman.
• Teoria da homotopia simples: A noção de equivalência de homotopia simples de J.H.C. Whitehead é uma noção geométrica de equivalência entre complexos celulares que tem importantes aplicações no estudo das variedades (e é muito bonita!). O objetivo do projeto seria entender a noção de torsão de Whitehead de uma equivalência de homotopia (no sentido usual) que é a obstrução a que essa equivalência de homotopia seja simples e portanto "geométrica". Um objetivo mais ambicioso seria entender a classificação a menos de homeomorfismo dos espaços lenticulares. Convem ter feito já, ou pelo menos estar inscrito no, curso de Topologia Algébrica. A referência clássica é o livro "A course in simple homotopy theory" de M. Cohen.
• Teorias quânticas do campo topológicas em dimensão 2: O objectivo deste projecto é perceber a classificação algébrica das teorias quânticas do campo topológicas em dimensão 2 em termos de álgebras de Frobenius. Apesar do título, não é necessário ter nenhuns conhecimentos de Física (eu também não percebo nada da Física subjacente). Os pré-requisitos são apenas Álgebra básica e alguma familiariedade com variedades. O estudo destas teorias é uma área muito activa da Topologia contemporânea e a demonstração deste teorema é uma mistura de álgebra e topologia muito bonita. A referência é o livro de Joachim Kock, "Frobenius algebras and 2 dimensional Topological Quantum Field Theories", London Mathematical Society Student Texts (2003).
• Análise quaterniónica: A Análise Complexa básica que todos aprendemos generaliza-se (até um certo ponto) aos quaterniões. Isto foi descoberto por Fueter nos anos 30 do século passado. Por exemplo, com uma definição adequada de holomorfia, o Teorema de Cauchy é válido para funções holomorfas quaterniónicas o que dá origem a expansões de Taylor e Laurent. Para perceber isto só é necessário cálculo de várias variáveis (embora o uso de formas diferenciais tenha algumas vantagens). As referências básicas são "Quaternionic Analysis" de A. Sudbery, Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 85 (1979), pp 199-225, e "The quaternion calculus" by C. A. Deavours, Amer. Math. Monthly 80 (1973) pp. 995-1008.

Temas para tese de Mestrado

• Homologia mod-p de ações de Z/p: Este projeto introduz a análise homológica de ações de grupos através do exemplo mais simples - o grupo cíclico de ordem p. Há muitos aspetos interessantes que podem ser investigados. Por exemplo:
  • A realizabilidade de módulos sobre a álgebra de grupo F_p[Z/p] como homologia de Z/p-espaços livres
  • A relação entre a sucessão espetral de Serre para a construção de Borel e a sucessão espetral determinada por uma filtração natural em \F_p[Z/p]
  • A determinação de uma estrutura explícita de A_\infty-módulo sobre H^*(BZ/p) num modelo minimal para a cohomologia da construção de Borel.
  • O estudo do índice cohomológico de um revestimento cíclico
  Referências para alguns dos temas acima são o livro "Cohomological methods in transformation groups" de C. Allday e V. Puppe e o artigo "Note on the cohomology of a finite cyclic covering" de Y. Hara e D. Kishimoto, Topology and its Applications 160 (2013) 1061-1065.
• Topologia das cordas : A topologia das cordas é o estudo da topologia do espaço das aplicações de uma circunferência para uma variedade. Este espaço é uma variedade de dimensão infinita e no final dos anos 90 do século passado, Chas and Sullivan descobriram a existência de uma estrutura algébrica muito interessante na homologia deste espaço, que continua a ser explorada nos dias de hoje. O objectivo deste projecto seria compreender a construção do produto de Chas-Sullivan na homologia (há agora várias construções alternativas) e calcular alguns exemplos. Uma boa introdução para este tema é Notes on string topology de R. Cohen and A. Voronov. O curso de Topologia Algébrica é um pré-requisito e os de Topologia Diferencial e Teoria da Homotopia são recomendados.
• Teoria das categorias-infinito: Recentemente tem-se tornado claro que as categorias de ordem superior (em que há morfismos de várias dimensões) são fundamentais para uma compreensão mais profunda de várias áreas da matemática pura. Este projeto introduz o exemplo mais simples (e mais útil até ao momento) - o das categorias-infinito. O objetivo é aprender a trabalhar com estes objetos que combinam a teoria das categorias com a teoria de homotopia dos espaços topológicos e que se estão rapidamente a tornar tão fundamentais na matemática pura como as categorias usuais foram no século XX. Há vários modelos para estes objetos - quasi-categorias, espaços de Segal, etc... - com diferentes vantagens, que podem ser comparados. A comparação usa uma ferramenta essencial da topologia algébrica moderna - a teoria das categorias de modelos - que agora são vistas como apresentações para categorias-infinito. Uma referência é o artigo "A short course on \infty-categories" de Moritz Groth, no Handbook of Homotopy Theory. O curso de Topologia Algébrica (e de preferência também Teoria da Homotopia) é um pré-requisito.
• Análise de dados topológica: Esta é uma área relativamente recente de aplicações práticas da Topologia Algébrica que é atualmente muito ativa. Há espaço para projetos de cariz mais teórico ou prático. O artigo da wikipedia é uma boa introdução e, uma referência standard é o livro "Computational topology- an introduction" de H. Edelsbrunner e J. Harer.
• Matemática Condensada: A teoria da matemática condensada de Clausen e Scholze é uma teoria muito recente (2019) que promete revolucionar o estudo de estruturas algébricas com uma topologia subjacente (desde objetos p-ádicos, a espaços de funções em geometria diferencial e análise funcional). O objetivo deste projeto seria aprender a trabalhar com estes objetos e estudar exemplos relevantes em geometria diferencial. Referências são Lectures on Condensed Mathematics de Scholze e os videos da master class com este tema dada recentemente por Clausen e Scholze.
• Teoria de singularidades e polinómios de Thom: As singularidades de funções diferenciáveis são formalizadas por órbitas da ação dos jatos invertíveis em jatos de funções de R^m para R^n. Há obstruções cohomológicas à existência de funções f:M-->N entre variedades numa dada classe de homotopia que evitem um tipo de singularidades. Estas podem escrever-se como polinómios em classes características associadas aos fibrados tangentes de M e N chamados polinómios de Thom. O objetivo deste projeto seria estudar esta teoria e aplicá-la depois à realização de alguns cálculos concretos. Uma referência é "Classifying spaces of singularities and Thom polynomials" de M. Kazarian.
• O princípio-h: O princípio-h de Gromov é um método não construtivo de resolver equações e desigualdades diferenciais usando teoria de homotopia e topologia diferencial. Tem inúmeras aplicações em geometria e topologia diferencial. O objetivo deste projeto seria entender em detalhe o método para demonstração do princípio-h devido a Eliashberg e Mischachev explicado em "Introduction to the h-principle", AMS e estudar alguns exemplos concretos em detalhe.
• Deformações de estruturas complexas compatíveis com uma forma simplética: A teoria da deformação estuda as possíveis variações locais de uma dada estrutura algébrica ou geométrica. Desenvolveu-se inicialmente através do estudo por Kodaira e Spencer das deformações de estruturas complexas em variedades mas neste momento é uma área muito desenvolvida da Matemática com aplicações espalhadas por toda a matemática pura. Este projeto pretende desenvolver e estudar a teoria no caso especial das estruturas complexas compatíveis com uma forma simplética. A cadeira de Geometria Diferencial (ou Simplética) é um pré-requisito. Uma boa introdução à teoria de deformação das estruturas complexas está contida no capítulo 6 do livro "Complex geometry - an introduction" de Daniel Huybrechts.
• Análise e álgebra quaterniónica: A análise complexa elementar pode ser em parte generalizada ao estudo de funções quaterniónicas de variável quaterniónica. Esta teoria deve-se a Fueter e data dos anos 30 do século passado (ver "Quaternionic Analysis" de A. Sudbery, Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 85 (1979), pp 199-225). Há também muito trabalho recente analisando outro tipo de funções quaterniónicas regulares introduzidas por Cullen. Mais recentemente, foi descoberta uma formulação algébrica da teoria das funções holomorfas no sentido de Fueter por Dominic Joyce (A theory of quaternionic algebra ). Este projeto pretende estudar a relação entre a teoria de Joyce e as teorias analíticas mencionadas acima, que não está ainda completamente esclarecida.

• Ricardo Rodrigues (MSc 2023), A geometric approach to the string product of spheres
• Filipe Paiva (Projeto LMAC 2023), On the representations of symmetric groups
• Afonso Luís (Projeto LMAC 2023), On the distribution of prime numbers
• Pedro Magalhães (MSc 2021), Thom Polynomials for Degeneracy Loci of 2-forms and Maps to an Almost Symplectic Manifold
• Violeta Marques (MSc 2021), A note on "A note on the (\infty,n)-category of cobordisms"
• Rafael Gomes (MSc 2020), Cohomological index of a p-cyclic covering
• Pedro Traila (Projeto LMAC 2020), Introdução às curvas elípticas
• João Candeias (Projeto LMAC 2020), The Geometry of the Octonions
• Pedro Miguel Santos (Projeto LMAC 2020), Cohomologia de grupos
• João Pereira (Projeto LMAC 2020), Introdução à Análise Quaterniónica
• Miguel Barata (Projeto LMAC 2019), Fibre bundles, characteristic classes and exotic spheres
• Pedro Magalhães (Projeto LMAC 2019), Algebraic Number Theory
• Carlos Carteiro (Projeto LMAC 2019), Introduction to quaternionic analysis
• Miguel Moreira (Projeto LMAC 2017), Riemann surfaces and modular functions
• Tiago Mendes (Projeto LMAC 2017), Teorema de Dirichlet e Reciprocidade Quadrática
• Diana Macedo (Projeto LMAC 2015), Primary Decomposition
• Pedro Branco (Projeto LMAC 2014), Representation Theory of Finite Groups
• Jorge António (Projecto LMAC 2014), Two dimensional TQFTs
• Manuel Araújo (MSc 2013), Symplectic Embeddings
• João Pedro Santos (Projeto LMAC 2013), Representation Theory of Symmetric Groups
• João Paulos (Projeto LMAC 2013), Aplicações do axioma da escolha
• Daniel Ferreira (Projeto LMAC 2013), A first approach to representation theory
• Manuela Almeida (Projeto LMAC 2012), Knot theory
• Pedro Vieira (Projeto LMAC 2012), Dirichlet's Theorem and Algebraic Number Fields
• Manuel Araújo (Gulbenkian NTM 2011), Classification of quadratic forms
• Nelson Batalha (MSc 2010) On the existence of categorical connections
• João Caldeira (Gulbenkian NTM 2008), Teoria dos Números Algébricos e o Último Teorema de Fermat
• Iara Gonçalves (MSc 2007) O grupo fundamental do complementar de um arranjo de hiperplanos complexos
• Pedro Vitória (Gulbenkian NTM 2007) Triangulação de superfícies